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Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2255
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 22:05: | 
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Hi allerseits,
es folgt die Vierecksaufgabe 5,
VA 5 über Berechnungen beim
Sehnenviereck,1.Teil.
Die Bezeichnungen sind von den vorhergehenden
Aufgaben übernommen.
Zusätzlich hat der halbe Umfang
s = ½ (a + b + c + d) seinen Auftritt.
Man beweise die folgenden für das konvexe Viereck
geltenden Formeln:
1.
cos (alpha) = [(a^2 + d^2) – (b^2+c^2)] / [2 (ad + bc)]
2.
sin(alpha) = 2 sqrt [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] / (ad + bc)
3.
cos(½ alpha) = sqrt [ (s-b)(s-c) / (ad + bc) ]
4.
sin(½ alpha) = sqrt [ (s-a)(s-d) / (ad + bc) ]
MfG
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 792
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 07:43: |
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Hi Megamath,
zu 1)
Anwendung des Cosinussatzes und gleichsetzen:
a²+d²-2ad*cosa=b²+c²-2bc*cosc
a²+d²-2ad*cosa=b²+c²+2bc*cosa
cosa=((a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc))
w.z.b.w.
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Falls es sonst irgendwelche Fragen gibt (auch bezüglich unseres Streites) einfach sagen. Ich antworte gerne darauf!
mfg
Niels
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 793
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 08:38: |
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Hi Megamath,
zu 3)
Ansatz:
cos(a/2)=sqrt((1+cosa)/2)
mit
cosa=((a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc))
1+cosa=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc))
(1+cosa)/2=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc))/2
(1+cosa)/2=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(4*(ad+bc))
Nun gilt:
s=(a+b+c+d)/2
(s-b)=(a-b+c+d)/2
(s-c)=(a+b-c+d)/2
============================
(s-b)*(s-c)=[(a-b+c+d)*(a+b-c+d)]/4
4*(s-b)*(s-c)=((a-b)+(c+d))*((a+b)-(c-d))
4*(s-b)*(s-c)=(a-b)*(a+b)-(a-b)*(c-d)+(a+b)*(c+d)- (c+d)*(c-d)
4*(s-b)*(s-c)=(a²-b²)-(c²-d²)+(-ac+ad+bc-bd+ac+ad+ bc+bd)
4*(s-b)*(s-c)=(a²+d²)-(b²+c²)+2*(ad+bc)
4*(s-b)*(s-c)=2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²)
=>
(1+cosa)/2=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(4*(ad+bc))
(1+cosa)/2=(4*(s-b)*(s-c))/(4*(ad+bc))
(1+cosa)/2=((s-b)*(s-c))/(ad+bc)
cos(a/2)=sqrt[(1+cosa)/2]=sgrt[((s-b)*(s-c))/(ad+bc)]
w.z.b.w.
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mfg
Niels |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 794
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 09:09: |
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Hi Megamath,
zu 4)
Im Prinzip die gleiche Vorgehensweise wie bei Teilaufgabe 3!
Ansatz:
sin(a/2)=sqrt[(1-cosa)/2]
mit
cosa=((a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc))
1-cosa=((2*(ad+bc)-(a²+d²)+(b²+c²))/(2*(ad+bc))
(1-cosa)/2=((2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²))/(2*(ad+bc))/2
(1-cosa)/2=((2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²))/(4*(ad+bc))
Nun gilt:
s=(a+b+c+d)/2
(s-a)=(-a+b+c+d)/2
(s-d)=(a+b+c-d)/2
============================
(s-a)*(s-d)=[(-a+b+c+d)*(a+b+c-d)]/4
4*(s-a)*(s-d)=(-(a-b)+(c+d))*((a+b)+(c-d))
4*(s-a)*(s-d)=-(a-b)*(a+b)-(a-b)*(c-d)+(a+b)*(c+d) +(c+d)*(c-d)
4*(s-a)*(s-d)=(b²+a²)+(c²-d²)+(-ac+ad+bc-bd+ac+ad+ bc+bd)
4*(s-a)*(s-d)=(b²+c²)-(a²+d²)+2*(ad+bc)
4*(s-a)*(s-d)=2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²)
=>
(1-cosa)/2=((2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²))/(4*(ad+bc))
(1-cosa)/2=(4*(s-a)*(s-d))/(4*(ad+bc))
(1-cosa)/2=((s-a)*(s-d))/(ad+bc)
sin(a/2)=sqrt[(1-cosa)/2]=sgrt[((s-a)*(s-d))/(ad+bc)]
w.z.b.w.
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mfg
Niels
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 795
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 09:24: |
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Hallo Megamath,
Der Spaß geht weiter....
zu 2)
wenn man Teilaufgabe 3 und 4 gelöst hat ist Teilaufgabe 2 nur noch eine Formsache:
Ansatz:
sina=2*sin(a/2)*cos(a/2)
sina=2*sin(a/2)*cos(a/2)
sina=2*sgrt[((s-a)*(s-d))/(ad+bc)]*sgrt[((s-b)*(s-c))/ (ad+bc)]
sina=2*sqrt[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)]/(ad+bc)
w.z.b.w.
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Das wäre dann alles! Aufgabe VA 5 ist damit komplett gelöst und Megamth damit hoffentlich zufrieden!
Ich bin es jedenfalls!
mfg
Niels
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