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Beitrag |
    
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 156
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 13:03: | 
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hi,
wie kann man beweisen, dass Wurzel 2 irrational ist? über den gegenbeweis?
Detlef |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 14:04: |
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Hallo Detlef,
wir führen einen Widerspruchsbeweis. Sei Sqrt(2) eine rationale Zahl, so lässt sie sich eindeutig in der Form
Sqrt(2) = p/q mit ggT(p,q) = 1 und p,q E Z darstellen. Wir quadrieren:
2 = p2/q2 <=> 2q2 = p2
Auf der linken Seite steht eine beliebige gerade Zahl. Daraus folgt, dass p2 gerade sein muss und somit p gerade ist. Damit gilt p = 2m mit m E Z.
2q2 = p2 = (2m)2 = 4m2
<=>
q2 = 2m2
Rechts steht eine beliebige gerade Zahl. Wieder folgt daraus, dass q gerade sein muss - q = 2n. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass p und q relativ prim zueinander sind (also keinen gemeinsamen Teiler haben)! Somit kann Sqrt(2) keine rationale Zahl sein.
Grüße, Robert |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 160
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 14:09: |
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hi,
Sqrt(2) = p/q mit ggT(p,q) = 1 und p,q E Z
was ist denn ggt(p,q) = 1?
Detlef |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 161
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 14:13: |
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hi,
was heißt denn Sqrt(2) = p/q mit ggT(p,q) = 1 und p,q E Z ?
also genau ggT(p,q)=1??
und diesen widerspruch habe ich noch nicht ganz verstanden!
Detlef |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 146
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 14:28: |
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Ok,
ggT(a,b) ist der größte gemeinsame Teiler von a und b. ist ggT(a,b) = 1, sind a und b teilerfremd und das ist notwendig für die Definition einer rationalen Zahl (Bruch). Allgemein lässt sich eine beliebige rationale Zahl darstellen durch
z = a/b, wobei a und b teilerfremd sind (der Bruch kann nicht mehr gekürzt werden, also ggT(a,b) = 1)
p,q E Z heißt, dass p und q aus dem Bereich der ganzen Zahlen stammen.
Im Beweis später erfahren wir, dass p und q gerade sind, also beide durch 2 teilbar sind. Damit wäre der ggT(p,q)=2 und das ist ja ein Widerspruch zur Definition einer rationalen Zahl, da dort der ggT(p,q) = 1 hätte sein müssen. |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 162
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 18:15: |
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ok, vielen dank!
Detlef |
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