| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2237
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juli, 2003 - 10:41: | 
|
Hi allerseits,
Es erscheint zum Wochenende
Aufgabe KB Nr. 18:
Gegeben ist der Kreis k : x^2 + y^2 = 1 mit
Mittelpunkt im Nullpunkt O und der Punkt
A (6/0) auf der x-Achse.
P sei der laufende Punkt auf k.
Die Halbierende w des Winkels AOP schneidet
die Gerade g = AP im Punkt T.
Man ermittle eine Gleichung der Ortskurve
des Punktes T.
Anmerkung
Die Aufgabe stammt aus dem ausgezeichneten
Lehrbuch des bekannten französischen Mathematikers
Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1963),
Leçons de Géométrie élémentaire (1913,Paris).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1281
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 08:29: |
|
das ist ein "um 6/7 nach rechts verschiebender"
Pantograph der auf 6/7 Verkleinert.
(Beitrag nachträglich am 13., Juli. 2003 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1282
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 08:42: |
|
auf ähnlichem Prinzip beruhend, gab es hier schon mal eine 3ecksKonstruktionsaufgabe: Umkreis, c, Schwerlinie a ( Strecke Punkt A zum Mittelpunkt der Seite A )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 780
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 09:42: |
|
Hi Friedrich,
könntetst du dein Ergebnisse ein wenig visualisieren?
sprich den "Pantograph" zeichnenn?
Ich habe bisher nie etwas von Pantographen gehört.
mfg
Niels |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1283
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 11:25: |
|
zu Pantograph siehe z.B. hier
ich muß gestehen daß die Hadamardaufgabe wenig damit zu tun hat - ist eben eine "Ähnlichkeitskonstruktion".
Winkelsymetralen teilen die gegenüberliegenden Seiten eine 3ecks im Verhältnis der anderen Seiten.
Im speziellen Fall werden alle Abstände PA auf 6/7 verkleinert, weil OP konstant 1 und OA konstant 6, wodurch ein Kreis mit r=6/7 entsteht. Es ist eine zentrische "Streckung", Zentrum A, Faktor 6/7,
und
damit wandert natürlich auch der Kreismittelpunkt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2263
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 11:19: |
|
Hi allerseits,
Ergänzungen zur Lösung der Aufgabe KB Nr.18.
Ich bin mehrfach danach gefragt worden,
ob man diese Aufgabe auch rechnerisch im Sinn
der analytischen Geometrie lösen kann.
Die Frage ist durchaus zu bejahen.
Einschränkend möchte ich aber betonen, dass die rein
geometrische Methode mit Rückgriff auf die Abbildung
mit zentrischer Streckung in diesem Fall besser ist.
Analytische Lösungen
1.Methoide
Auf dem Kreis x^2 + y^2 = 1 läuft der Punkt
P1(u/v) mit u = cos t , v = sin t .
Für den Parameter t gilt 0 <= t < 2 Pi.
Die Verbindungsgerade g der Punkte P1
und A(6/0) hat die Gleichung
y = v / (u-6) * (x-6)
Die Gleichung der Winkelhalbierenden w lautet:
y = m * x mit m = tan ( ½ t)
Ein neuer Parameter m liegt auf dem Präsentierteller!*
Mit Hilfe der so genannten Rationalisierungsformeln
erhält man:
cos t = (1 - m^2) / (1+m^2); sin t = 2m / (1+m^2)
Die Gleichung von g lautet nun
y = - 2 m / [7 m^2 +5] * ( x -7)
Wir schneiden g mit w : y = m x ;
Schnittpunkt T(xo / yo) mit
xo = 12 / (7 + 7 m^2), y = 12 m / (7+ 7 m^2)
Eliminieren wir m, so erhalten wir die ersehnte
Kreisgleichung, nämlich
x^2 + y^2 – 12/7 x = 0 oder
(x - 6/7) ^ 2 + y ^ 2 = 36/49
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Methode
Einfacher geht es, wenn wir die Tatsache benützen,
dass wegen des Seitenverhältnisses
OA / OP1 = 6 : 1 im Dreieck OAP1 die
Winkelhalbierende w die Seite AP1 in eben
diesem Verhältnis teilt.
Das führt für den Schnittpunkt
T(xo/yo) auf die Gleichungen:
xo = u + 1/7 (6-u) = 6/7 u + 6/7
yo = v – 1/7 v = 6/7 v
u und v sind wieder die Koordinaten eines laufenden
Punktes auf dem Einheitskreis;
aus der Gleichung u^2 + v^2 = 1
gewinnt man durch Einsetzen sofort die
obige Kreisgleichung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
