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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2223
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 21:13: | 
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Hi allerseits
Die Serie der Kreisaufgaben KB wird hiermit fortgesetzt,
bis 2 Dutzend davon voll sind.
Es folgt KB Nr.15.
Gegeben werden drei Kreise k1, k2, k3 mit den Mittelpunkten
M1(3/4),M2(4/3),M3(-5/0)
Wesentlich ist, dass alle Kreise denselben Radius r = 5 haben.
a)
Weise nach, dass der Nullpunkt gemeinsamer Schnittpunkt
aller drei Kreise ist(kinderleicht).
b)
die drei Kreise schneiden sich paarweise in drei von O
verschiedenen Punkten U,V, W.
Berechne die Koordinaten dieser Punkte.
c)
Weise nach, dass der Umkreisradius des Dreiecks UVW
gerade mit r übereinstimmt.
d)
Versuche, aus dem Ergebnis einen allgemein gültigen,
nicht trivialen Satz zu formulieren, und beweise diesen Satz.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 795
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juli, 2003 - 11:21: |
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Hi,
ich will hier mal das Vorurteil abbauen, als Soldat gebe man sein Hirn beim eintritt in die Kaserne ab, daher hier meine Lösungen:
a)
Alle Mittelpunkte haben zum Ursprung grade den Abstand 5 also den Radius des Kreises, daher schneiden sie sich dort!
b)
einfach Kreisgleichungen ausrechnen und Gleichungssysteme lösen:
U ( -1 | 3 ) , V ( -2 | 4 ) , W ( 7 | 7 )
c)
Hier benutze ich die nette Formel:
Umkreisradius: r= (a * b * c)/4*A
Also das Produkt der Seitenlängen dividiert durch den 4fachen Flächeninhalt
a=Ö2 , b=Ö80 , c=Ö90 , A=6
also r=(Ö14400)/24 ==> r=5 q.e.d.
d) kann dann ein anderer machen
@megamath: Hast du meinen Beitrag in Bezug auf eine deiner alten Aufgaben nicht gesehen? Deine Meinung dazu würde mich interresieren...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2229
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juli, 2003 - 15:44: |
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Hi Ferdi,
Das hast Du sehr gut gemacht, besonders auch die Berechnunng von r mit der bekannten (!) Formel.
Der allgemeine Beweis ist schwierig;
ich bin mit meinem Beweis nicht zufrieden
Vielleicht springt jemand ein !
Vor kurzem habe ich Dein Statement gelesen.
Ich werde es bei Gelegenheit überprüfen.
Ich wünsche Dir,mit knappen Worten,wie es beim
Militär Usus ist, einen guten Dienst.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 775
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juli, 2003 - 16:35: |
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Hi Megamath,
das ist mal was ganz neues, das du unzufrieden mit einem Beweis bist!!
Wie lautet den der Satz, der bewiesen werden soll? vielleicht habe ich ja auch noch einen Beweis in meinem Grabbelkiste.
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2231
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juli, 2003 - 16:58: |
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Hi Niels,
Der Satz lautet so
Drei Kreise mit gleichen Radien gehen durch einen
gemeinsamen Punkt, z.B. durch den Nullpunkt O.
Sie schneiden sich ausserdem paarweise in den Punkten
U,V,W.
Man beweise, dass der Umkreis des Dreiecks UVW
denselben Radius hat wie die gegebenen Kreise.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juli, 2003 - 17:44: |
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Der eleganteste Beweis den ich kenne führt über die Interpretation der beteiligten Punkte als Projektion eines Würfels.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 799
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juli, 2003 - 14:00: |
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Hi ***,
dieser Beweis würde mich interessieren. Ich hab mich ja vergeblich bemüht...
mfg
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*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juli, 2003 - 16:57: |
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Hallo Ferdi,
hier ist die Idee zwar wenig formal dafür aber sehr anschaulich dargestellt.
hier findest du einen formalen Beweis.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 801
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juli, 2003 - 17:53: |
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Besten Dank!
mfg |
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