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*** (hydra)
Junior Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 18:38: | 
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Nun wird's etwas kniffliger!
Konstruiere ein Dreieck aus a, a und wa (Winkelhalbierende).
***
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2205
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 09:58: |
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Hi ***(hydra),
Ich habe Deine schöne, aber nicht ganz leichte Aufgabe
gelöst und zwar mit Konstruktion und Berechnung.
Ich halte aber wie üblich mit der Lösung noch zurück,
um nicht anderen Interessenten die Pointe zu verraten.
Zur Ergänzung Deiner Ausführungen schlage ich
ein numerisches Beispiel vor.
Innenwinkel bei A, alpha = 60°, Gegenseite a = 6 wurzel (3),
Länge der Winkelhalbierenden von A aus: w = 5.
Die Lösbarkeitsbedingung ist erfüllt:
Es muss gelten: w < ½ a * cotg (½ alpha)
Eine Frage noch:
Sollte uns die Lösung einer Aufgabe nicht von Anfang
an gelingen, wie lange ist das Zeitfenster von Dir aus offen?
Würdest Du allenfalls Deine Lösung nach einer gewissen
Karenzzeit hier präsentieren?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 754
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 11:09: |
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Hallo Megamath und ***,
wenn ihr jetzt noch ein Exkurs über Dreieckskonstruktionen aufmacht, dann bin ich dabei. Ich denke auch das noch ein Kapitel darüber in Ferdi und meinem Buch platz hätte.
mfg
Niels |
*** (hydra)
Junior Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 13:21: |
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Hallo Megamath,
es freut mich sehr, dass du dich mit meinen kleinen Konstruktionsaufgaben beschäftigst. Für das numerische Beispiel erhalte ich den Dreiecksumfang 15 Ö3 .
Hallo Niels,
deine Überlegungen zu dieser Aufgabe würden mich sehr interessieren!
Zu deinem Vorschlag: Ich fürchte mir fehlt sowohl die nötige Ausdauer als auch das didaktische Geschick, einen systematischen Exkurs über Dreieckskonstruktionen durchzuziehen. Ich möchte nur im Sinne einer "Geometria Nostalgica" einige Aufgaben der konstruktiven Geometrie zur Diskussion stellen. Wenn eine Aufgabe für Megamath zu langweilig ist aber trotzdem Interesse an einer Lösung besteht, werde ich natürlich gerne meine Ergebnisse hinschreiben.
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 755
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 14:32: |
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Hi ***,
ich muss zugeben die Aufgabe finde ich verdammt schwer!!
Wenn neben Wa und a b oder c als Seiten gegeben wären, wäre die Sache viel einfacher. Allerdings denke ich mir besteht zur Dreieckskonstruktionsaufgabe 1 folgender Zusammenhang:
Satz:
Jede Winkelhalbierende eines Innenwinkels teilt die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden Seiten.
Das ist meiner Meinung nach die Verbindung. Allerdings hilft mir das wenig weiter. Bin ich auf dem richtigen Weg?
Übrigens, keiner verlangt von dir einen didaktisch Exzelenten Exkurs. Es reicht wie Megamath es macht. D.h. nette Aufgaben ggf. mit Lösungen ins Board stellen und wenn nötig etwas erläutern. Um die Didaktische Aufbereitung kümmer dann ich mich. Ihr stellt die Aufgaben und Lösungen in Board und ich bereite sie mit Ferdi auf.
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2207
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 14:52: |
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Hi *** (hydra)
Ich möchte Dich ermuntern, bei der Auswahl von
Konstruktionsaufgaben den Zufallsgenerator wirken zu
lassen und weniger um didaktische Fragen besorgt zu sein.
Es soll ein Spiel sein, mindestens so anspruchsvoll wie das
Golfspiel, nur billiger.
Wenn einzelne Schüler davon etwas profitieren könnten,
umso besser.
Gerade in der Elementar-Geometrie besteht in unseren
Breitengraden ein enormer Nachholbedarf !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
@ Niels:
Ein Hinweis : ziehe den Umkreis des Dreiecks heran!
Mit a und alpha bekommst Du ihn als Geschenk,
konstruktiv oder rechnerisch
Mfg
H.R.Moser,megamaht
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2209
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 15:59: |
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Hi *** (hydra),
ich habe übrigens dasselbe numerische Resultat:
Umfang u = 15 * wurzel(3)
Im Détail:
b = 3/2*[3wurzel(3) + wurzel(7)]
c = 3/2*[3wurzel(3) - wurzel(7)]
MfG
H.R.Moser,megamath |
*** (hydra)
Junior Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 16:30: |
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Hallo Megamath,
die Übereinstimmung unserer numerischen Ergebnisse auch im Detail ist sehr beruhigend ;-)
@Niels: Hinweis Nr.2
Überlege, wo sich die Mittelsenkrechte von a und die (verlängerte) Winkelhalbierende wa schneiden!
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 756
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 17:26: |
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Hi Freunde,
@Megamath:
In der Tat bekommt man den Umkreis geschenkt. Er müsste wenn ich mich nicht verrechnet habe r=9 sein.
@***:
Der Schnittpunkt von der verlängerten Wa und der Mittelsenkrechten ma liegt auf dem Umkreis des Dreiecks. Die Frage ist nur, was nützt mir der Hinweis rechnerisch?
rechnerisch kann ich mit der Information wenig anfangen.
Gruß N. |
*** (hydra)
Junior Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juli, 2003 - 10:48: |
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Hallo Niels,
der Umkreisradius im numerischen Beispiel sollte r=6 sein!
Als Hinweis Nr.3 werde ich meinen Konstruktionsgang angeben. Vielleicht machst du eine Zeichnung und überlegst den Beweis dazu?
1) Ausgangspunkt ist die Strecke a=BC als Sehne im Umkreis k, der ja durch a und a festgelegt ist.
2) Die Mittelsenkrechte von BC schneide k in D und E (wobei D am Schluss auch der Schnittpunkt der Verlängerung von wa mit dem Umkreis sein soll).
3) Verlängere EC um die Länge wa über C hinaus zum Punkt F und zeichne den Kreis k° mit Durchmesser CF um O, dem Mittelpunkt der Strecke CF.
4) Verbinde D mit O und bezeichne den Schnittpunkt mit k° als G.
5) Zeichne einen Kreis k* um D mit Radius DG; ein Schnittpunkt von k* mit BC sei J (der zweite Schnittpunkt liefert die symmetrische Lösung; hier erkennt man die von Megamath erwähnte Lösbarkeitsbedingung: die Existenz eines Schnittpunktes J).
6) Die Verlängerung von DJ schneidet den Umkreis im gesuchten Eckpunkt A.
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 762
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 09:54: |
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Hi hydra,
upps, ich sehe gerade mein Rechenfehler, hast natürlich recht! Dann werde ich mal konstruieren...
mfg
Niels |
