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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2203
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 13:48: | 
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Hi allerseits,
Aufgabe KB Nr.13
Beweise den Satz
Sind A und B die Endpunkte eines Durchmessers
eines Kreises k, so geht die Polare von A bezüglich
irgendeines Orthogonalkreises von k
durch den Punkt B.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2206
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 14:13: |
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Hi allerseits,
Lösung der Aufgabe KB Nr.13
Es ist reizvoll, zur Lösung dieser Aufgabe eine rechnerische
Variante zu wählen.
Der Inversionskreis k sei festgelegt durch die Gleichung
x^2 + y^2 = r^2.
Als Gleichung eines Orthogonalkreises k° von k wählen wir
nach der Lösung zu KB Nr.11 (hier c = r^2 statt c = 1)
x ^ 2 + y ^2 + 2 A x + 2 B y + r^2 = 0
Die zugehörige Polarengleichung mit P1(x1/y1) als Pol
lautet:
x1 x + y1 y + A ( x + x1 ) + B ( y + y1 ) + r^2 = 0.
Wir wählen einen beliebigen Punkt A auf k aus:
xA = r cos t , yA = r sin t (Parameter t mit 0 <=t <2 PI ).
Der zu A diametrale Punkt bezüglich k hat dann die
Koordinaten xB = - r cos t , yB = - r sin t .
Die Gleichung der Polaren p des Punktes A bezüglich des
Kreises k° lautet:
r cos t*x + r sin t*y + A(x+r cos t) + B(y + r sin t) + r^2=0.
Diese Gerade p geht durch den Punkt B, wie man beim
Einsetzen der Koordinaten dieses Punktes in die letzte Gleichung
Bestätigt.
Der Term links wird tatsächlich null:
r cos t*(- r cos t) + r sin t*(- r sin t)
+A(-r cos t + r cos t )+B(- r sin t + r sin t ) + r^2 =……………
= 0 , bravo!
Damit ist alles bewiesen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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