| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2196
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 11:13: | 
|
Hi allerseits
Es folgt die Aufgabe KB Nr .11:
Aufgabe KB Nr.11
Gegeben wird der Einheitskreis k1 mit der Gleichung
x^2 + y^2 = 1, welcher im Folgenden als Inversionskreis
benützt wird (Spiegelung an k1).
Ein Kreis k mit der Gleichung
x^2 + y^2 +2 a x + 2 b y + c = 0 mit c ungleich 0
wird an k1 gespiegelt; der Bildkreis sei k*.
Welche Bedingung müssen die Koeffizienten a, b, c
von k erfüllen, wenn k* mit k zusammenfällt?
Weise nach, dass in diesem Fall k den Inversionskreis
senkrecht schneidet.
Viel Vergnügen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 748
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 14:19: |
|
Hier ein Link zu einem allgemeinen Beweis:
http://www.math4u.de/geom_save.html
mfg
Niels |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 749
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 14:22: |
|
Naja, hat mit den link nicht ganz geklappt. Ich meinte unter "inversion am Kreis" Aufgabe K24....
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2197
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 14:44: |
|
Hi Niels,
Danke für den Hinweis !*
Es sind mir nicht alle Fundgruben bekannt,
und ich lerne gerne neue kennen.
Soll ich meine Lösung jetzt hier hineinstellen ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 790
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 14:57: |
|
Hi,
ich schaue auch mal wieder vorbei!
@Megamath (ich habe deine Bemerkung an mythos gelesen!): ich würde ja gerne in den Ferien hier nette Aufgaben, aber auch herrausfordernde Aufgabe bearbeiten, nur nimmt der Grundwehrdienst (zumindest in Deutschland) einem in den ersten drei Monaten zegliche Freizeit (bis auf 2 Wochenenden im Monat)! Aber in drei Monaten bin ich wieder regelmäßig dabei !
Freue mich schon auf deine Lösung dieses Problemes!
Niels seine Lösung mit Sehnentangenetnsatz ist einleuchtend! Man gut das ich in 13 Jahren Schule niemals diesen Satz gelernt bzw gesehen habe...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2198
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 15:13: |
|
Hi allerseits,
Hi Niels, Hi Ferdi
Lösung der Kreisaufgabe KB Nr. 11
Wir arbeiten mit den Abbildungsgleichungen bei der
Spiegelung am Einheitskreis x^2 + y^2 = 1.
Sei P(x/y) der Originalpunkt, P´(x’/y´) der zugehörige
Bildpunkt.
Es gilt bekanntlich OP * OP´ = 1, wobei P und P´ auf
derselben Ursprungsgeraden liegen. Daraus folgt
unmittelbar:
x´ = x / (x^2 + y^2) , y´ = y / (x^2 + y^2)
Da die Abbildung involutorisch ist, gilt auch umgekehrt:
x = x´ / (x´^2 + y´^2) , y = y´ / (x´^2 + y´^2)
Setzen wir die Beziehungen der letzten Zeile in die Gleichung
x^2 + y^2 + 2 a x + 2 b y + c = 0 für k ein,
so erhalten wir, nach Wegschaffung der Brüche und Umstellung
als Gleichung von k*, des Bildes von k:
c x´^2 + c y´^2 + 2 a x´ + 2 b y´ + 1 = 0.
Das ist ein veritabler Kreis, da c nach Voraussetzung
nicht null ist.
Er fällt mit dem Originalkreis k zusammen,
wenn c = 1 gilt.
Ist diese Bedingung erfüllt, so schneidet k den Inversionskreis
x^2 + y^2 = 1 senkrecht, wie man leicht nachrechnet, z.B. so:
Inversionskreises : Mittelpunkt O(0/0), Radius r = 1
Kreis k: Mittelpunkt M(-a/-b) , Radius R mit R^2 = a^2 + b^2 – 1.
Einer der Schnittpunkte der Kreise sei S.
Die Kreise stehen aufeinander senkrecht, wenn
das Dreieck SOM bei S rechtwinklig ist.
Dies ist der Fall, wenn die Relation
OM ^ 2 = OS^2 + SM^2 erfüllt ist.
Dies trifft tatsächlich zu, wegen
a^2 + b^2 = 1 + (a^2 + b^2 - 1)
Es gibt noch einige andere schöne Beweise für die
Orthogonalität.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 750
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 16:03: |
|
Hi Megamath,
vielen Dank für die rechnerische Lösung. In der Tat gibt es viele orthogonalitätsbeweise. Kreisspiegelungen waren schon immer mein Lieblingstehma als wir uns in der Schule mit komplecen Funktionen beschäftigt haben.
Gruß N. |
|
