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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2192
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juli, 2003 - 08:31: | 
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Hi allerseits,
Es folgt Aufgabe KB Nr.10
Beweise den Satz:
Schneiden sich zwei Kreise senkrecht, so wird jeder
Durchmesser des einen Kreises durch den andern Kreis
harmonisch geteilt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 617
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 00:14: |
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Sorry, da komme ich jetzt nicht ganz mit, denn es kann ja der Fall eintreten, dass Durchmesser des einen Kreises vom anderen Kreis gar nicht geschnitten werden; somit kann der Satz nicht für JEDEN Durchmesser gelten. Oder verstehe ich da etwas falsch?
MfG
mYthos
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*** (hydra)
Neues Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 07:32: |
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Bemerkung: Die Inversion am Kreis und ihre Winkeltreue (woraus die Behauptung unmittelbar folgt) sind offenbar auch heute noch Lehrstoff an einigen Schulen, siehe z.B.
geometrie.diefenbach.at/Inversion/FA.htm
***
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2193
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 08:25: |
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Hi mythos,
Es hat mich sehr gefreut, von Dir eine Bemerkung zu
diesem netten Satz über Orthogonalkreise zu erhalten.
Wir Beide sind offenbar bald die Einzigen, die zahlReich
in Ferienzeiten über Wasser halten.
Die Andern sind alle wahrscheinlich baden gegangen
und dabei untergetaucht,im wahrsten Sinn des Wortes.
Deine Bemerkung ist durchaus relevant und ich
muss der Sache nachgehen und prüfen, ob die imaginären
Schnittpunkte bei der harmonischen Punktgruppe mithalten.
Betrachten wir vor allen Dingen aber die reellen Schnittpunkte.
Es ist wohl am besten, ich führe Dir meinen Beweis des
Sätzchens vor, dann siehst Du, wie alles funktioniert.
Man könnte allenfalls die Formulierung des Satzes verbessern.
Meine Hauptsorge galt jedoch dem Wissensstand der Studierenden
bezüglich der projektiven Geometrie (harmonische Lage von
Punkten etc); viele ganz schöne und relevante Dinge der Geometrie
werden heutzutage einfach ignoriert, auch dies ist im wahrsten
Wortsinn gemeint…
Der langen Rede kurzer Sinn:
Es folgt mein Beweisversuch mit herzlichen Grüssen nach Wien
Hans Rudolf
Hier ein möglicher Beweis dieses schönen Satzes
KB Nr.10:
Um die Idee zu fixieren, zeigen wir, wie man durch
Konstruktion zwei sich senkrecht schneidende Kreise
findet, und wie auf einem beliebigen Durchmesser
des einen Kreises zwanglos eine harmonische
Punktgruppe entsteht.
Ein erster Kreis k1 hat den Mittelpunkt M
und den Radius r.
Durch M wird eine beliebige Gerade g gelegt
(Durchmessergerade).
g scheidet k1 in den Endpunkten A, B eines
Durchmessers AB.
Auf k1 wählen wir einen von A und B verschiedenen
Punkt T aus und legen die Tangente t an k1 mit T als
Berührungspunkt.
Im beliebigen Abstand s von T wählen wir den Punkt N
als Mittelpunkt eine Kreises k2 vom Radius s = NT,
der den Kreis k1 in T senkrecht schneidet.
Beachte: in T stehen die Tangenten von k1 und k2
aufeinander senkrecht, wie es sein soll.
Die eingangs erwähnte Gerade schneidet den zweiten
Kreis k2 in den Punkten C und D, wobei CD im
allgemeinen Fall kein Durchmesser von k2 ist.
Die Behauptung des Satzes lautet nun:
Die Punkte A,B,C,D bilden eine harmonische
Punktgruppe, d.h. ihr Doppelverhältnis ist minus eins:
(ABCD) = - 1; nochmals mit anderen Worten:
Die Strecke AB wird durch C innen im gleichen
Verhältnis geteilt wie das der Punkt D mit derselben
Strecke AB aussen tut.
(äussere und innere Teilung einer Strecke nach einem
festen Verhältnis, das ist harmonische Teilung).
Beweis.
Anwendung des Sekanten-Tangentensatzes auf den
Kreis k2 bezüglich des Punktes M, der Tangente MT
und der Sekante MCD:
MT ^ 2 = MC MD, also
r^2 = MC * MD, als Proportion geschrieben:
r : MC = MD : r
durch korrespondierende Addition und Subtraktion
(siehe Anmerkung) entsteht:
(r + MC) / MC = ( MD + r) / r
(r - MC) / MC = ( MD - r) / r , also
[r + MC ] / [r – MC ] = [MD + r ] / [ MD – r] ,
daraus entspringt sofort:
AC : BC = AD : BD.
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Dies bedeutet:
die Punktgruppe ABCD ist harmonisch!
Anmerkung
zur korrespondierenden Addition und Subtraktion:
Ausgangspunkt;
r / MC = MD / r
Erste HANDLUNG:
Addiere auf beiden Seiten 1; es kommt:
r / MC + 1= MD / r + 1, gleichnamig machen und addieren
[ r + MC ] / MC = [ MD + r ] / r…………..(I)
Zweite HANDLUNG:
Addiere auf beiden Seiten - 1; es kommt:
r / MC - 1= MD / r - 1 , gleichnamig machen und addieren
[ r - MC ] / MC = [ MD - r ] / r………… (II)
Dividiere (I) durch (II)
Resultat:
[r + MC ] / [r – MC ] = [MD + r ] / [ MD – r]
wie weiter oben !*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2194
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 08:32: |
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Hi ***(hydra)
Herzlichen Dank für Deinen Beitrag.
Der ist sehr nützlich und hilfreich.
H.R.Moser,megamath |
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