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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2190
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 13:13: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt die Kreis-Aufgabe KB Nr.9
Gegeben ist die Gleichung
x^2 + y^2 – 2 m y - 16 = 0 mit m als Parameter.
Weise nach, dass die Gleichung Kreise darstellt,
die alle durch zwei feste Punkte A und B der x-Achse
gehen, dass also ein Kreisbüschel mit den Grundpunkten
A und B vorliegt.
Zeige, dass die Polaren des festen Punktes P(x1/y1)
(x1 ungleich null) bezüglich aller Kreise des Büschels
durch einen und denselben Punkt F gehen.
Ermittle die Koordinaten von F.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2191
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juli, 2003 - 08:13: |
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Hi allerseits
Es folgt die Lösung der Aufgabe KB Nr.9
Schnitt der Schar mit der x-Achse; setze y = 0
Aus x^2 = 16 ergeben sich die festen Schnittpunkte
A(4 / 0) und B(- 4 / 0) als Grundpunkte.
Ist P(x1/y1) der gegebene Pol, so lautet die Gleichung
der Polaren g bezüglich eines Kreises der Schar in
Abhängigkeit des Parameters m:
x1 x + y1 y – m (y + y1) – 16 = 0
Nun wählen wir zwei verschiedene, aber beliebige
Parameterwerte, etwa
m1 = mm und m2 = mk, eine ganz sinnige,
fast übersinnliche Bezeichnungsart.
Die Polaren zum Pol P1 bezüglich dieser ausgewählten
Kreise, die zu diesen beiden Parameterwerten gehören,
sind:
x1 x + y1 y – mm (y + y1) – 16 = 0
x1 x + y1 y – mk (y + y1) – 16 = 0
Wir berechnen nun die Koordinaten des Schnittpunktes S
dieser Polaren; durch Subtraktion entsteht eine Gleichung
für y = yS:
(mk – mm) y = - (mk – mm) ;
beachte: (mk – mm) ist von null verschieden!*
wir erhalten:
yS = - y1 , daraus schließlich
xS = (16 + y1^2) / x1
Wir sehen: die Koordinaten von S sind von den m-Werten
unabhängig.
S ist der gesuchte feste Punkt F, was zu zeigen war.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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