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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2188
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juli, 2003 - 07:55: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt die Aufgabe Nr 8 der Kreisaufgaben.
Weise nach, dass die beiden Kreise
x^2 + y^2 - 400 = 0 und
x^2 + y^2 – 10 x – 24 y + 120 = 0
sich berühren.
Gesucht wird die Gleichung eines
dritten Kreises, der die x-Achse sowie die
beiden Kreise in ihrem Berührungspunkt berührt.
Welches ist der Potenzpunkt der drei involvierten
Kreise?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2189
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 10:33: |
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Hi allerseits,
Hier kommt eine Lösung der Aufgabe
KB Nr. 8.
Auch hier soll der Begriff der Potenzgeraden
zum Zug kommen.
Wenn die beiden gegebenen Kreise sich berühren
sollen, so ist ihre Potenzgerade p eine gemeinsame
Tangente der beiden Kreise, Berührungspunkt B.
Gleichung von p durch Subtraktion der linken Seiten
der Kreisgleichungen :
p : 10 x + 24 y – 520 = 0 oder
5 x + 12 y - 260 = 0
Man sieht auf den n - ten Blick mit 1 <= n <=13,
dass diese Gerade den ersten Kreis
im Punkt B mit xB = 100 / 13, yB = 240 /13 berührt,
womit der erste Teil der Aufgabe gelöst ist.
Ansatz für die Gleichung des gesuchten
(dritten) Kreises:
(x-u)^2 + (y-v)^2 - r^2 = 0
mit r^2 = v^2 (Berührung der x-Achse),
also:
x^2 + y^2 – 2 u x + u^2 = 0
Zusammen mit dem ersten Kreis erzeugt er die
Potenzgerade p*:
2 u x + 2 v y – 400 – u^2 = 0
Diese Gerade p* ist identisch mit der oben bestimmten
Potenzgeraden p der gegebenen Kreise, also mit der Geraden
5 x + 12 y – 260 = 0
Das gibt zur Belohnung zwei Gleichungen für u , v,
nämlich:
2u /5 = 2 v / 12 = (400 + u^2)/ 260.
Damit berechnen wir
für einen ersten Fall: u1 = 4 , v1 = 48/5
für einen zweiten Fall: u2 = 100, v2 = 240.
Die rs stimmen mit den vaus überein!*
Der Potenzpunkt aller drei Kreise ist natürlich
der Punkt B, das kommt davon… von der Berührung!*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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