| Autor |
Beitrag |
    
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 143
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Juni, 2003 - 14:52: | 
|
hi,
wir haben in der schule jetzt ein Nährungsverfahren für Nullstellenbestimmung kennengelernt, das folgendermaßen funktioniert:
eine Funktion f(x)=1/16*x³ + x - 2
nun soll man diese Funktion nach x auflösen:
x=-1/16x³+2 und g(x)=x; h(x)=-1/16x³+2
Dann sucht man sich einen Startwert (nicht beliebig) und setzt ihn in h(x) ein!
Startwert a0= 1
1.Wert a1 = g(a0)= 1 15/16
2.Wert a2 = g(a1)= 1,5454 und immer so weiter... den neuen y-Wert für x einsetzen!
Nun haben wir festgestellt, dass der Wert nur gegen die Nullstelle konvergiert, wenn der Startwert zwischen ca.-3,39 und 4,415 gewählt wurde, ansonsten bekommt man kein Ergebnis! Woran liegt das denn?
ich weiss trotz der Cauchy-Folge(mir wurde gesagt man kann es damit begründen) nicht wieso?
Detlef
|
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 146
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juli, 2003 - 16:12: |
|
warum kann man eine Funktion f(x) in g(x) und h(x) aufteilen und dann damit die Nullstelle berechnen, wie kann man das herleiten?
Detlef |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 669
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juli, 2003 - 20:40: |
|
Gesucht sind ja die Lösungen der Gleichung 0 = 1/16*x³ + x - 2
Diese Gleichung ist aber äquivalent zu
x = -1/16 x³ + 2
Nun definieren wir uns rekursiv eine Folge
xn+1= - 1/16 xn³+2
Wenn diese Folge konvergiert, dann auf jeden Fall gegen eine Nullstelle von f, denn für den Grenzwert x gilt ja die Gleichung x = -1/16 x³ + 2 (Beachte: Bei Konvergenz nähern sich xn+1 und xn beliebig aneinander an)
Also müssen wir den Startwert x0 nur noch so wählen, daß die Folge konvergiert.
|
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 14:50: |
|
Und der Startwert muss zwischen -3.39 und 4.415 liegen! Ich habe herausgefunden, dass das mit der Steigung des Graphen zusammenhängt, gibt es da näheres zu beweisen?
Detlef |
|
