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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2184
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Juni, 2003 - 10:50: | 
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Hi allerseits,
Die Aufgabe KB Nr.7 ist etwas anspruchsvoller als die
vorhergehenden Nummern vier, fünf und sechs.
Sie verlangt gute Kenntnisse über die Rolle der Potenzgeraden
und über den Potenzpunkt und über die Schreibweise von
Punkten als Nullkreise.
Sie wird deshalb bei den Zahlreich-Fans bestimmt Anklang
finden und die Kenner der Materie entzücken!
Man muss weit über vierzig Jahre in der Schulgeschichte
zurückblättern, bis man auf solche Aufgaben als Routineaufgaben,
auch in Maturaufgaben, stösst.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben sind:
der Kreis k: x^2 + y^2 + 16 x + 4 y + 19 = 0
die Gerade g: 3 x + y + 1 = 0
und der Punkt A(4/-1).
Gesucht wird ein Kreis c, der durch A geht so, dass g die
Potenzgerade beider Kreise k und c ist.
Hinweis: Arbeite mit dem Potenzpunkt der folgenden drei Kreise:
gegebener Kreis k, gesuchter Kreis c und Punkt A als Nullkreis.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 746
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Juni, 2003 - 18:28: |
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Hi Megamath,
habe gerade diese nette Aufgabe Nummer 7 endeckt und werde dann mal losknobeln.
Ferdi und mein Projekt nimmt langsam gestallt an. Und je mehr Material wir erhalten umso besser. Das Problem ist nur:
1. Bei mir in Schleswig Holstein haben die Sommerferien begonnen. Deshalb kann ich nicht so häufig hier vorbeischauen wie sonst. Stelle aber ruhig deine Aufgaben und ich versuche sie zu lösen, auch wenn ich noch neu in der Materie bin und nicht soviel Erfahrung habe wie FErdi.
2. Ferdi muss zur Bundeswehr und wird daher auch nur in nächterzeit vereinzelnt vorbeischauen können.
Nur so zur Information.
Jetzt will ich mich aber an die Aufgabe machen. Gib mir Frist bis Morgen Abend. Wenn dann keiner die Aufgabe gelöst hat bitte auflösen.
mfg
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2185
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Juni, 2003 - 18:38: |
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Hi Niels,
Danke für die Mitteilung.
Machen wir es so,wie Du vorschlägst.
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2186
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juli, 2003 - 07:15: |
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Hi allerseits
Lösung der Kreisaufgabe KB Nr.7.
Wir fassen den Punkt A als Kreis mit dem Radius null auf;
Gleichung dieses Kreises:
(x-4)^2+(y+1)^2= 0 oder
x^2+y^2-8x + 2y+ 17 = 0
Zusammen mit der Gleichung des gegebenen Kreises k erhalten
wir die Potenzgerade p dieses Kreises k und des Nullkreises A:
p : 24 x + 2 y + 2 = 0 oder 12 x + y + 1 = 0
die beiden Potenzgeraden g und p schneiden sich im Potenzpunkt
P(0/1)
°°°°°°
Durch P geht auch die dritte Potenzgerade q zwischen dem gesuchten
Kreis c und dem Nullkreis A.
Da A ein Punkt auf c sein soll, ist die Potenzgerade q die Tangente
des Kreises c in A.
Diese Tangente q mit Berührungspunkt A ist somit die Gerade PA
mit der Gleichung y = -1.
Der Mittelpunkt M* des gesuchten Kreises c liegt auf der Senkrechten
x = 4 zu q durch A.
Da eine Potenzgerade stets zur Zentralen, d.h. der Verbindungsgerade
der Mittelpunkte der entsprechenden Kreise, senkrecht steht,
liegt M* auf der zu g senkrechten Geraden g* durch M(-8/-2),
dem Mittelpunkt von k, wobei g* die Rolle der Zentralen übernimmt.
g hat die Steigung mg = -3, g* somit die Steigung mg* = 1/3
Gleichung von g*: y = 1/3(x +2).
Schnitt dieser Geraden mit x = 4 ergibt
den Mittelpunkt M* des gesuchten Kreises:
M*(4/2),der Radius ist M*A = 3.
Gleichung von c:
(x-4)^2+(y-2)^2 = 9.
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Eine zweite Lösungsmethode folgt demnächst
in diesem Theater !*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2187
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juli, 2003 - 07:45: |
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Hi allerseits,
Es folgt eine zweite Lösungsmethode, auf die man
kommt, wenn man ganz unvoreingenommen an die
Aufgabe herangeht.
Für den gesuchten Kreis wählen wir den Ansatz
c: x^2 + y^2 + 2 A x + 2 B y + C = 0
c geht durch den gegebenen Punkt (4/-1), also:
8 A – 2 B + C + 17 = 0 ,daraus
C = - 8A + 2B - 17 …………………………………….(1)
Der Ansatz für die Gleichung von c lautet damit
x^2 + y^2 + 2 A x + 2 B y – 8 A + 2 B – 17 = 0………(2)
Dazu gesellt sich die Gleichung des gegebenen
Kreises k:
x^2 + y^2 + 16 x + 4 y + 19 = 0………………………..(3)
Konfrontiert man (2) und (3), so erhält man durch
Subtraktion die Gleichung der Potenzgeraden p
der Kreise c und k, nämlich
(2 A – 16) x + (2 B – 4 ) y - 8 A + 2 B – 36 = 0 ……..(4)
Diese Potenzgerade hat nach Vorgabe die Gleichung
3 x + y + 1 = 0 ………………………………………..(5)
Sollen (4) und (5) dieselbe Gerade darstellen,
so muss gelten:
[2 A – 16] / 3 = [2 B – 4] / 1 = [- 8 A + 2 B - 36] / 1
Aus diesen Gleichungen lassen sich A und B leicht
berechnen und mit der Gleichung (1) auch C.
Ergebnis:
A = - 4 , B = - 2 , C = 11
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Die stimmt mit dem früheren Ergebnis überein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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