| Autor |
Beitrag |
    
konrad Engelhardt (konrad18)
Neues Mitglied
Benutzername: konrad18
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 01:40: | 
|
Die Abkühlung einer Tasse Kaffee erfolgt (innerhalb eines beschränkten Zeitraumes) exponentiell. Dabei sinkt die Temperatur (in C) der Tasse in 15 minuten auf die Hälfte.
a)Welche Funktionsgleichung T=T0a^x beschreibt den Abkühlvorgang, wenn am Anfang die TEmperatur 65 C beträgt und x wie folgt festgelegt wird.
1.x ist die Zeit jeweils in 15 min gemessen.
2.x ist die Zeit in Minuten
b)Wie heiß ist die Tasse Kaffee in 5 min, 1/5 h?Wie heiß war der Kaffee vor 3 min.
Im Grab eines ägyptischen Pharaos wurde ein Schiff gefunden. Zur Altersbestimmung hat man 1950 einen Splitter auf radiokativen Kohlenstoff C-14 untersucht und eine Reststrahlung von 63,1% gemessen.Die Halbwertszeit von C-14 beträgt 5570 Jahre.
a)Stelle die Zerfallsgleichung für C-14 auf.
b)Welches Alter hatte das Holz?
c)WElche REststrahlung hat der HOlzsplitter im jahre 3000?
gruß
konrad |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 599
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 14:58: |
|
Hallo,
zur 2. Aufgabe:
Wieder mal eine Zerfallsaufgabe, diese wurde hier schon öfters behandelt. Mit der Suche innerhalb des Forums müsstest du einiges eruieren können ...
z.B.
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausauf gaben/show.cgi?24/312381
oder zuletzt auch
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausauf gaben/show.cgi?24/312709
Wenn du damit dennoch nicht weiter kommst, bitte nochmals fragen und vor allem mitteilen, wo dein Problem ist und was du bis jetzt selbst schon ermittelt hast.
Ähnlich ist es bei der ersten Aufgabe:
Zunächst die Herleitung der Formel zum Verständnis. Für die Berechnung der Lösung ist dies aber nicht unbedingt notwendig, man kann gleich von
T(x) = T0*a^x
ausgehen.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Sowohl die Abkühlung als auch Erwärmung eines Körpers erfolgt nach folgendem Gesetz: Die Änderung der Temperatur mit der Zeit (-> dT/dt) ist proportional (mit einem Faktor k) zur vorherrschenden Temperaturdifferenz T - Tu, wobei T die momentane und Tu die Umgebungstemperatur ist.
dT/dt = k*(T - Tu)
Da es etwas verwirrend ist, dass t die Zeit und T die Temperatur ist, also Verwechslungsgefahr der beiden Variablen besteht, wird die Variable für die Zeit in der Folge mit x bezeichnet.
dT/dx = k*(T - Tu)
Die sich daraus ergebende einfache Differentialgleichung ist nun
dT/dx = k*(T - Tu) | : (T - Tu) |*dx
dT/(T - Tu) = k*dx | beide Seiten integrieren
deren Lösung erfolgt durch Integrieren:
ln(T - Tu) = k*x + C (C Integrationskonstante)
wobei zu bemerken ist, dass das Integral von 1/(T - Tu) nach dT einfach wie bei 1/T --> ln(T) hier eben ln(T - Tu) ist, weil Tu eine Konstante und die (innere) Ableitung von (T - Tu) nach T gleich 1 ist.
Aus ln(T - Tu) = k*x + C folgt:
T - Tu = e^C * e^(k*x), mit e^C = T0 folgt:
T(x) = T = Tu + T0*e^(k*x)
T0 stellt die (von Tu aus gesehen) relative Anfangstemperatur dar, T = T(x) ist die momentane Temperatur zum Zeitpunkt x.
Nachdem in diesem Beispiel die Umgebungstemperatur nicht angegeben und die 65°C als (absolute) Anfangstemperatur des Kaffee's angegeben ist, muss Tu = 0 gesetzt werden, und die Funktionsgleichung für diese Aufgabe lautet daher:
T(x) = T0*e^(k*x)
Eine Erwärmung kann nun von T0 aufwärts (k > 0), die Abkühlung dementsprechend abwärts (k < 0 ) erfolgen.
Nun kann T(x) = T0*e^(k*x) noch etwas umgeformt werden:
T(x) = T0*[(e^k)^x] .. e^k = a ->
T(x) = T0*a^x
Bei einer Erwärmung ist a > 1, bei einer Abkühlung ist a < 1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Funktion der Abkühlung lautet:
T(x) = 65*a^x, wobei a noch nicht bekannt ist.
Nun sinkt die Temperatur in 15 Minuten auf die Hälfte (die 15 Minuten bezeichnet man als die Halbwertszeit), man kann also in die Funktionsgleichung für T(x) = T0/2 und für x = 15 min einsetzen und kann damit endlich a berechnen:
T0/2 = T0*a^15 (oder: 32,5 = 65*a^15, was das Gleiche ist)
a^15 = 0,5 |ln
(a = 15. Wurzel aus 0,5, mit dem Taschenrechner .. oder)
15*ln(a) = ln(0,5)
ln(a) = ln(0,5)/15 = -0,04621
a = exp(-0,04621) = 0,9548416 [/min)]
Die Temperaturfunktion der Abkühlung lautet nun:
T(x) = 65*0,9548416^x
Man erkennt, dass die Abkühlung pro Minute auf den 0,955 -ten Teil des anfänglichen Temperaturwertes erfolgt, das entspricht einem Temperaturabfall von 4,5% pro Minute.
Somit ist es nun leicht, die Temperatur zu jedem beliebigen Zeitpunkt anzugeben:
T(5 min) = 65*0,9548416^5 = 51,6°C
T(vor 3 Minuten) = T(-3) = 65/(0,9548416^3) = 74,7°C
Gr
mYthos
|
|
