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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 129
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 15:43: | 
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hi,
ich suche den Grenzwert dieser Folge:
a0= (7n²+1)/(3n²-2) Wie berechne ich diesen Grenzwert?
Detlef |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1242
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 16:06: |
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Polynomdivision!
(7n²+1)/(3n²-2) = 7/3 + [(3-2*7)/3]/(3n²+2)
also
Grenzwert 7/3 für |n| --> oo
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 130
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 17:58: |
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hi,
fällt das Restglied bei ->oo weg?
Ist das irgendeine besondere Folge, weil unser Lehrer sowas meinte?
Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1318
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 18:33: |
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Hi Detlef
Der Teil hier nennt sich Nullfolge:
[(3-2*7)/3]/(3n²+2) und fällt bei der Grenzwertbildung weg.
Wenn du die Rechenregeln für Grenzwerte kennst, kannst du hier auch so vorgehen(Zähler und Nenner durch n² teilen):
(7n²+1)/(3n²-2)=(7+1/n²)/(3-2/n²)
Damit ergibt sich für n->¥ auch sofort der Wert 7/3.
MfG
C. Schmidt
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 131
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 19:18: |
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ahh, vielen dank!
ich habe jetzt was zu der Funktion gefunden, es ist eine sog. Cauchy-Folge, was ist das denn?
was ist daran so besonders?
Detlef |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1411
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 21:54: |
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Hallo Detlef,
in IR sind Cauchy-Folgen und konvergente Folgen dasselbe. Cauchy-Folgen sind erst in so genannten nicht-vollständigen metrischen Räumen interessant. Q, die Menge der rationalen Zahlen, ist z. B. ein solcher. Eine Folge rationaler Zahlen, die gegen Wurzel(2) konvergiert ist z. B. eine Cauchy-Folge in Q, die in Q nicht konvergiert. Genauer gilt:
(x_n) ist Cauchy-Folge, wenn zu jedem epsilon > 0 ein n0 existiert, sodass |xn - xm| < epsilon für alle m,n > n0.
Ist aber wohl eher Unistoff ... |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 17:22: |
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hi,
ich verstehe das Grenzwertbestimmen mit diesem Epsilon nicht wirklich, wie funktioniert das genau? Könnte mir das einer an hand eines beispiels erklären?
Detlef |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1422
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 18:19: |
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Nimm z. B. die Folge x_n = 1/n.
Sei nun epsilon > 0 beliebig (aber fest) vorgegeben. Dann gibt es ein n0 aus IN, sodass n0 > 2/epsilon. Wenn nun n und m > n0, dann gilt
|x_n - x_m|
= |1/n - 1/m|
<= |1/n| + |1/m| (Dreiecksungleichung)
= 1/n + 1/m (da n und m positiv)
< 1/n0 + 1/n0 (da n,m > n0)
= 2/n0
< epsilon (da n0 > 2/epsilon)
Insgesamt haben wir also zu jedem epsilon > 0 ein n0 gefunden, sodass für alle n,m > n0 die Ungleichung
|x_n - x_m| < epsilon
erfüllt ist. Also ist die Folge eine Cauchyfolge.
Den Grenzwert (Null) kannst du hieraus aber nicht bestimmen. Du weist nur, dass er in IR existiert. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1319
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 18:27: |
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Hi Detlef
Das ist auch oft nicht so leicht. Vor den Cauchyfolgen sollte wir vielleicht erstmal die "normale" Grenzwertdefinition nehmen mit dem Epsilon.
Eine Folge (an) konvergiert genau dann gegen a, wenn zu jedem 0<e aus R ein N aus N existiert, s.d.
|an-a|<e für n³N.
Das kannst du dir ganz anschaulich überlegen, dass diese Definition sinnvoll ist.
Wir beweisen mit dieser Definition einmal die Konvergenz der Folge (an), definiert durch
an:=1/n. Wir behaupten der Grenzwert ist 0 und legen ein beliebiges e>0 vor. Wir müssen jetzt zeigen, dass zu diesem e>0 ein N aus N existiert mit
|1/n-0|<e für alle n³N
Dieser Fall hier ist besonders leicht, weil wir einfach umformen können.
|1/n-0|<e
<=> n>1/e
Wähle als N als einfach die erste natürliche Zahl, die größer ist als 1/e.
[An der Uni müsstest du jetzt noch begründen, dass eine solche Zahl existiert]
Wie du siehst hängt die Wahl von N im Allgemeinen von e ab.
Jetzt lässt sich durch einen einfachen Trick zeigen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist(Dreiecksungleichung). Sei (an) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Nach obiger Definition gelte
|an-a|<e/2 und |am-a|<e/2
ab einem bestimmten N.
|an-am|=|an-a+(a-am)|
£|an-a|+|am-a|<e.
Beispiel fällt mir dazu jetzt leider auch keins ein...
MfG
C. Schmidt |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 15:35: |
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vielen dank!
"wenn zu jedem 0<e aus R ein N aus N existiert"
was ist denn N aus N? Und was ist dann genau der Grenzwert der Folge?
Detlef |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1249
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 17:25: |
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das "fettgedruckte" N bedeutet Menge der Natürlichen Zahlen ( es wird durch die Notation \b{N} fett angezeigt )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 134
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:10: |
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ich habe nicht ganz verstanden, welcher wert dann genau der grenzwert der folge ist??
Detlef |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 657
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:30: |
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Zitat:
Eine Folge (an) konvergiert genau dann gegen a...
Also ist der Grenzwert a ;)
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 135
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 17:37: |
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hi,
ich weiss nicht genau, ob ich die normale Grenzwertbestimmung genau verstanden habe, aber vielleicht hat jemand noch ein einfaches Beispiel, wo ichs ausprobieren kann!
Vorgang:
1) man muss raten, was der Grenzwert sein kann!
(kann ich da bei a=1/n auch z.B epsilon > 2 nehmen und trotzdem aufs richtige ergebnis kommen?)
2)das dann in 1/n-2 < epsilon einsetzen und nach n auflösen??
3) die nächst größere ist der grenzwert?
Detlef |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1427
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 19:23: |
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Hallo Detlef,
um mit dieser Definition die Konvergez zu zeigen musst du dir den vermutlichen Grenzwert irgendwo her besorgen - zur Not raten.
Es reicht nicht aus, es für epsilon > 2 zu zeigen. Du musst es für JEDES (noch so kleine epsilon) nachweisen.
Beachte: (an)n=1,2,... ist die Folge und a ist der Grenzwert.
Also nicht a = 1/n, sondern an = 1/n, a = 0 und
limn -> oo an = a. |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 658
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 23:41: |
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Zum besseren Verständnis der Formel, solltest Du Dir versuchen klarzumachen, was die einzelnen Terme bedeuten
|an-a|<e für alle n>N(e)
an ist das n-te Glied der Folge. Durch den Betrag wird der Abstand zu dem Wert a berechnet. Dieser Abstand ist kleiner als der Wert e und zwar für alle Folgeglieder "nach" dem N-ten.
Gib es in dieser Gleichung nun für beliebig kleine Werte von e immer ein N, so daß sie erfüllt ist, dann wissen wir, daß sich die Werte von an beliebig nahe an den Wert a annähern. Also ist a der Grenzwert.
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 136
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 15:55: |
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ich habe jetzt auch noch was in einem buch gefunden, ich habe das jetzt verstanden, aber ein problem habe ich noch, wie wählt man den wert, den man als Grenzwert schätzt also a? einfach nur die funktion angucken und vermuten und ausprobieren?
Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1321
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 16:14: |
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Hi Detlef
Bei dem Verfahren schon. Musst den Grenzwert normalerweise raten oder wie Zaph schon sagte irgendwoher besorgen.
Wenn du das Cauchy-Konvergenzkriterium anwendest brauchst du den Grenzwert nicht zu kennen. Du kannst damit zeigen, dass ein Grenzwert existiert oder nicht, weisst aber auch nicht wie dieser dann heißt.
MfG
C. Schmidt |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 660
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 16:31: |
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Es ist leider nicht pauschal zu sagen, wie man auf den Grenzwert kommt. Es gibt die unterschiedlichsten Arten von Folgen. In den meißten Fällen wird man wohl versuchen mithilfe der Grundregeln die Folge in einfachere Folgen zu zerlegen.
Beispiele:
an=sin(1/n)+(1/n) konvergiert gegen 0, weil sowohl sin(1/n) als auch 1/n gegen 0 gehen.
an=2n²/(3n²+1) konvergiert gegen (2/3) weil an=(2/3)-2/(9n²+3) und 2/(9n²+3) eine Nullfolge ist.
Bei rekursiven Folgen läuft es häufig auf das Lösen einer Gleichung hinaus.
Beispiel: an=an-1²
Wenn diese Folge überhaupt einen Grenzwert hat, dann muß er die Gleichung a=a² erfüllen, also kommt nur a=0 oder a=1 in Frage.
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 137
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 16:32: |
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ok, jetzt ist das normale Grenzwertbestimmen verstanden, aber jetzt zum eigentlichen Thema Cauchy-Folge!
man nimmt dann das halbe Epsilon und was macht man dann, und wozu?
Detlef |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 138
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 10:58: |
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wenn ich nun die obige Folge nehme a[sub]n[/sub]=1/n, wie zeige ich per Cauchy, dass es einen Grenzwert gibt ohne vorher einen wert zu raten?
Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1326
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 11:17: |
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Hi Detlef
Das hat ja Zaph oben schon gezeigt mit dem Cauchy-Konvergenzkriterium.
Sei e>0 vorgegeben.
Jetzt müssen wir zeigen, dass zu diesem e>0 ein Wert N aus N existiert, so dass gilt
|an-am|<e für beliebige m,n³N
Anschaulich bedeutet das, dass die Folgenglieder ab dem Index N einen kleineren Abstand als e haben.
Und jetzt halt der Beweis von Zaph
|an-am|
£|1/n|+|1/m|
=1/n+1/m£2/N<e
für N<2/e
Wie schon gesagt, du weisst jetzt, dass ein Grenzwert existiert, nicht aber wie dieser heißt.
MfG
C. Schmidt
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
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Nummer des Beitrags: 139
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 12:17: |
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hi,
ok, aber was ist denn a[sub]n[/sub] und a[sub]m[/sub]? Und einen Grenzwert gibt es, weil N <.. steht?
Und wie ist das begründet, was man das mit der Ungleichung einfach so schreiben kann?
Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1327
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 12:25: |
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Hi Detlef
kleiner Fehler bei mir.
da muss natürlich stehen für N>2/e.
an und am sind beliebige Glieder der Folge, wobei der Index jeweils größer oder gleich N ist. Und der Grenzwert existiert halt, weil man zu jedem e>0 ein N gefunden hat, so dass gilt |an-am|<e für m,n³N.
Die ganzen Begründungen für die Umformungen stehen oben bei Zaph.
MfG
C. Schmidt |
Detlef (detlef01)
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Nummer des Beitrags: 140
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 12:37: |
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axo, da habe ich noch ein Problem, was ist die Dreiecksungleichung und wozu brauch man die?
habe über google nichts richtiges gefunden!
Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1328
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 12:57: |
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Hi Detlef
Es gilt für beliebige reelle Zahlen a und b die Dreiecksungleichung:
|a+b|£|a|+|b|
Beweis:
-a£|a|
a£|a|
-b£|b|
b£|b|
Durch Addition ergibt sich
a+b £ |a|+|b|
und
-(a+b) £ |a|+|b|
Zusammen folgt
|a+b|£|a|+|b|
Die Dreiecksungleichung wird gerade bei so Abschätzungen wie oben häufig verwendet.
MfG
C. Schmidt |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 141
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 15:33: |
|
vielen dank! Jetzt habe ich das theoretisch auch verstanden, aber warum ist ein Grenzwert dann vorhanden, irgendwas habe ich da noch nicht verstanden ausgehend von zaph-posting!
[code]
Sei nun epsilon > 0 beliebig (aber fest) vorgegeben. Dann gibt es ein n0 aus IN, sodass n0 > 2/epsilon. Wenn nun n und m > n0, dann gilt
|x_n - x_m|
= |1/n - 1/m|
<= |1/n| + |1/m| (Dreiecksungleichung)
= 1/n + 1/m (da n und m positiv)
< 1/n0 + 1/n0 (da n,m > n0)
= 2/n0
< epsilon (da n0 > 2/epsilon)
Insgesamt haben wir also zu jedem epsilon > 0 ein n0 gefunden, sodass für alle n,m > n0 die Ungleichung
|x_n - x_m| < epsilon
erfüllt ist. Also ist die Folge eine Cauchyfolge.
[/code]
1) epsilon ist größer als Null!
2)was ist aber n0 (er ist kleiner als m und n), auch ein Glied der Folge?
3)das umformen von 1/n+1/m < 1/n0+1/n0 zu 2/n0 < epsilon habe ich nicht verstanden!
4)ach und n0 kann belieb groß werden, es ist kleiner als epsilon!
Detlef |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1429
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 16:18: |
|
Vielleicht ein Beispiel. Nimm
epsilon = 0,00231
(Es soll ja für JEDES epsilon gehen, also auch für dieses spezielle.)
Dann ist 2/epsilon = 865,8...
Wähle irgend eine natürlich Zahl n0, die größer ist.
Z. B. n0 = 1234
(Da es beliebig große natürliche Zahlen gibt, findest du auf jeden Fall eine, auch wenn epsilon kleiner ist.)
Wenn n und m größer als 1234 sind, dann ist
1/n < 1/1234 und 1/m < 1/1234
Also 1/n + 1/m < 1/1234 + 1/1234 = 1/n0 + 1/n0
Nun ja, und 1/n0 + 1/n0 ist nach Adam Riese 2/n0.
Und da n0 = 1234 > 2/epsilon = 865,8..., ist 2/n0 = 0,0008103 < epsilon = 0,00231. (Multipliziere beide Seiten der Ungleichung n0 > 2/epsilon mit epsilon/n0.)
Warum in IR jede Cauchy-Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, ist nicht ganz einfach. Dazu muss erst einmal vernünftig IR definiert werden! |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 142
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Juni, 2003 - 14:36: |
|
ok, jetzt habe ich das auch verstanden!
Jetzt muss ich mit diesem Wissen ein Nährungsverfahren begründen und herleiten! Dazu öffne ich mal einen neuen Beitrag!
Detlef |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 15:36: |
|
hi,
Zitat:
Wenn n und m größer als 1234 sind, dann ist
1/n < 1/1234 und 1/m < 1/1234
wenn n bzw. m größer sind als 1234, warum dann
1/n < 1/1234 und 1/m < 1/1234 , ist das nicht genau anders herum?
Zitat:
Und da n0 = 1234 > 2/epsilon = 865,8..., ist 2/n0 = 0,0008103 < epsilon = 0,00231. (Multipliziere beide Seiten der Ungleichung n0 > 2/epsilon mit epsilon/n0.)
was willste mir damit sagen, das habe ich nicht so ganz verstanden?
Und noch was, wie geht die cauchy-folge bei a0= (7n²+1)/(3n²-2)? ich habe nichts richtiges hinbekommen!
Detlef
(Beitrag nachträglich am 06., Juli. 2003 von Detlef01 editiert) |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 16:46: |
|
n > 1234 | : n wobei n > 0
1 > 1234/n | : 1234
1/1234 > 1/n |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1432
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 17:12: |
|
Ganz genau, Georg!
Ungleichungen können ähnlich wie Gleichungen umgeformt werden. Manchmal muss man aber aufpassen, denn das Zeichen kann sich dabei drehen.
Wenn c > 0, dann gilt
a < b <=> ac < bc
und
a < b <=> a/c < b/c
Wenn c < 0, dann gilt
a < b <=> ac > bc
und
a < b <=> a/c > b/c
Da epsilon > 0 und n0 > 0, ist c := epsilon/n0 > 0.
Also
n0 > 2/epsilon
<=>
n0 * c > 2/epsilon * c
<=>
n0 * epsilon/n0 > 2/epsilon * epsilon/n0
<=>
epsilon > 2/n0
<=>
2/n0 < epsilon
|
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 10:36: |
|
ohh ja, stimmt ja! lang ist es her*G*
Beispiel:
|x_n - x_m|
= |1/n - 1/m|
<= |1/n| + |1/m| (Dreiecksungleichung)
= 1/n + 1/m (da n und m positiv)
< 1/n0 + 1/n0 (da n,m > n0)
= 2/n0
|x_n - x_m| = |(7n²+1)/(3n²-2) - |(7m²+1)/(3m²-2)
<=|(7n²+1)/(3n²-2)|+|(7m²+1)/(3m²-2)|
..
weiter muss ich erst noch mal durchrechnen!
Detlef
|
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1433
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juli, 2003 - 20:45: |
|
Hallo Detlef, so wird es nichts!
|x_n - x_m|
= |(7n² + 1)/(3n² - 2) - (7m² + 1)/(3m² - 2)|
= |7/3 + 17/(3*(3n² - 2)) - 7/3 - 17/(3*(3m² - 2))|
= 17/3 * |1/(3n² - 2) - 1/(3m² - 2)|
<= 17/3 * (|1/(3n² - 2)| + |1/(3m² - 2)|)
<= 17/3 * (|1/(3n² - 2n²)| + |1/(3m² - 2n²)|)
= 17/3 * (|1/n²| + |1/m²|)
< 6 * (|1/n| + |1/m|)
Jetzt weiter wie oben.
(Beitrag nachträglich am 08., Juli. 2003 von zaph editiert) |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 151
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 12:13: |
|
hi,
oben wars so:
= 1/n + 1/m (da n und m positiv)
< 1/n0 + 1/n0 (da n,m > n0)
= 2/n0
also muss ich doch hier so vorgehen:
= 17/3 * (|1/n²| + |1/m²|)
< 6 * (|1/n| + |1/m|)
ja, mhh wie mach ich weiter, was will erreichen? oben habe ich jetzt n0 für beide eingesetzt aber hier weiss ich nicht weiter??
Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1329
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 14:09: |
|
Hi Detlef
...
= 17/3 * (|1/n²| + |1/m²|)
< 6 * (|1/n| + |1/m|)
=6*(1/n+1/m)
<6*(1/n0+1/n0)
=12/n0
MfG
C. Schmidt
(Beitrag nachträglich am 09., Juli. 2003 von Christian_s editiert) |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 152
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 12:17: |
|
hi,
und was passiert mit den = 17/3 * (|1/n²| + |1/m²|) ?? fällt das einfach weg?
Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1332
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 12:40: |
|
Hi Detlef
Da fällt doch nix wirklich weg.
Es gilt doch 17/3<6
und |1/n²|<|1/n| und |1/m²|<|1/m|
Damit natürlich auch
17/3*(|1/n²| + |1/m²|) < 6*(|1/n| + |1/m|)
MfG
C. Schmidt |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 153
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 13:10: |
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Hi
aber es wird doch dann nur noch der rechte teil "aufgelöst", warum?
wird für den linken teil dann epsilon eingeteilt?
Detlef
(Beitrag nachträglich am 10., Juli. 2003 von Detlef01 editiert) |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1333
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 14:14: |
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Hi
Nein, dass du hast ja insgesamt eine Gleichungs- bzw. Ungleichungskette.
Du fängst ja ganz von vorne an
|(7n² + 1)/(3n² - 2) - (7m² + 1)/(3m² - 2)|
Das formst du jetzt als weiter um und schätzt dabei noch ab. Hier mal die komplette Kette:
|x_n - x_m|
=|(7n² + 1)/(3n² - 2) - (7m² + 1)/(3m² - 2)|
= |7/3 + 17/(3*(3n² - 2)) - 7/3 - 17/(3*(3m² - 2)|
= 17/3 * |1/(3n² - 2) - 1/(3m² - 2)|
<= 17/3 * (|1/(3n² - 2)| + |1/(3m² - 2)|)
<= 17/3 * (|1/(3n² - 2n²)| + |1/(3m² - 2n²)|)
= 17/3 * (|1/n²| + |1/m²|)
< 6 * (|1/n| + |1/m|)
=6*(1/n+1/m)
<6*(1/n0+1/n0)
=12/n0
Insgesamt haben wir damit dann gezeigt
|x_n - x_m|<12/n0<e für n0 > 12/e
MfG
C. Schmidt
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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 154
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 16:22: |
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achso!!!!
Der zusammenhang war mir nicht klar! vielen dank!
Detlef |
