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lisette (lisette)
Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 09:30: | 
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Hallo,
Ich komme nicht durch mit der folgenden
Geometrieaufgabe über Kreisberührung.
Sie gehört nicht zu den Pflichtaufgaben,
aber ich hätte ein grosses Interesse an
einer Lösung.
Die Aufgabe lautet:
Ein Kreis c geht durch die Punkte A(-5/8)
und B(-9/4) und berührt den Kreis k
x ^ 2 + y ^ 2 – 6 x – 26 y + 153 = 0.
Ermittle c durch Konstruktion oder durch
Berechnung.
Leider gelingt mir weder das Eine noch das
Andere.
Für jede Hilfe bin ich dankbar
Lisette
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 597
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 00:55: |
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Hi Lisette,
beide Lösungswege sind tatsächlich nicht so einfach!
Wir gehen mal die rechnerische - also die (typisch) analytische - Behandlung dieser Aufgabe an:
Der gesuchte Kreis c hat die Gleichung:
(x - m)² + (y - n)² = r² .. k(M(m|n); r)
Typisch analytisch heisst daher, wir setzen die (noch unbekannte) Lösung als gegeben voraus! In dieser werden dann alle unbekannten Größen mit den vorgegebenen Bedingungen verarbeitet und diese somit Schritt für Schritt errechnet.
Vom gegebenen Kreis k bestimmen wir den Mittelpunkt M1 und den Radius r1:
x² + y² – 6x – 26y + 153 = 0
(x - 3)² + (y - 13)² = -153 + 9 + 169
(x - 3)² + (y - 13)² = 25
M1(3|13), r1 = 5
Der gesuchte Kreis c kann k nur von aussen berühren, da die Streckensymmetrale von AB den Kreis k nicht schneidet.
Wir verwerten nun die Angabe derart, dass wir 3 Gleichungen für die unbekannten Größen m, n und r erhalten. Zunächst gilt für die zwei Punkte A und B, dass sie, in die Kreisgleichung eingesetzt, diese erfüllen müssen. Und drittens ist bei Berührung von aussen die Distanz der beiden Mittelpunkte die Summe der beiden Radien (r + 5), bzw. falls der gegebene Kreis k innerhalb des gesuchten Kreises c zu liegen kommen sollte, wäre auch auch die Differenz (r - 5) möglich (Gl. 3a bzw. 3b).
1.: (-5 - m)² + (8 - n)² = r² .. A € k
2.: (-9 - m)² + (4 - n)² = r² .. B € k
3a.: (3 - m)² + (13 - n)² = (r + 5)² bzw.
3b.: (3 - m)² + (13 - n)² = (r - 5)²
.. MM1 = r + 5 bzw. r - 5
------------------------------------------
Der weitere Weg ist nur mehr eine Rechenarbeit;
ausquadrieren, 2 x subtrahieren, damit r² wegfällt, dann m und n jeweils in r ausdrücken, in eine der quadr. Gleichungen rückeinsetzen -> ergibt r und in der Folge m und n.
1.: m² + 10m + n² - 16n = r² - 89
2.: m² + 18m + n² - 8n = r² - 97
3a.: m² - 6m + n² - 26n = r² + 10r - 153
-----------------------------------------
24m + 18n = -10r + 56
16m + 10n = -10r + 64
->
8m + 8n = - 8 ->
m + n = -1
12m + 9n = -5r + 28
8m + 5n = -5r + 32
---------------------
12m = -20r + 148
3m = -5r + 37
m = -5r/3 + 37/3
°°°°°°°°°°°°°°°°
wegen n = -m - 1 ->
n = 5r/3 - 40/3
°°°°°°°°°°°°°°°°
In 1.:
(5r/3 - 52/3)² + (-5r/3 + 64/3)² = r²
25r² - 520r + 2704 + 25r² - 640r + 4096 = 9r²
41r² - 1160r + 6800 = 0
r1,2 = [1160 +/- sqrt(1345600 - 1115200)]/82
r1,2 = [1160 +/- sqrt(230400]/82
r1,2 = [1160 +/- 480]/82
r1 = 8,3 (rd.); r2 = 20 (exakt)
(mit 3b. ergeben sich nur negative r)
c1:
------------
m1 = -1,4878
n1 = 0,4878
r1 = 8,2927
°°°°°°°°°°°°
c2:
-----------
m2 = -21
n2 = 20
r2 = 20
______________________________________________
Das konstruktive Verfahren ist ein wenig trickreicher; dazu ist die Kenntnis der Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises, der Potenzlinien bezüglich zweier Kreise (von jedem Punkt auf diesen ist die Länge der Tangenten an beide Kreise gleich) und letztendlich des Potenzzentrums, von dem aus alle Tangentenlängen an drei Kreise gleich sind, hilfreich bzw. erforderlich.
Falls die Kenntnisse ausreichen und (noch) Interesse an dieser Konstruktion vorhanden ist, könntest du dies ja dann kundtun. Dann kann versucht werden, deren Gang möglichst gut rüberzubringen, was rein verbal u. U. ein etwas diffiziles Unterfangen sein kann.
Gr
mYthos
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2158
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 19:13: |
|
Hi mythos,
Die Kirche ist wieder im Dorf: die schöne Aufgabe von
Lisette ist gelöst.
Ich gratuliere Dir herzlich zu Deiner Lösungsmethode mittels
analytischer Geometrie, mit der Du, ausdauernd wie immer,
zum Ziel kamst.
Ich habe die Aufgabe mit einer ähnlichen Methode gelöst
und dieselben Ergebnisse erzielt.
Es ist nicht weltbewegend, aber doch erwähnenswert:
Auch die zweite Lösung hat rationale Mittelpunktskoordinaten
Und sogar einen rationalen Radius.
Das ist deshalb so, damit diese Lösung gegenüber der ersten
Lösung nicht zu sehr abfällt!
Exakte Daten der beiden Lösungen:
c1:
Mittelpunkt M*: xM* = - 21, yM* = 20,
Radius r* = 20.
c2:
Mittelpunkt M%: xM% = - 61/41, y% = 20/41,
Radius r% = 340/41 (sic!).
Mit herzlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser
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elsa (elsa13)
Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 20:13: |
|
@megamath:
es klingt, als hättest Du eine weniger aufwendige Methode verwendet und das macht mich neugierig!
Ich habe auch die 3 Ansatzgleichungen so wie mYthos verwendet.
liebe Grüße
elsa |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 605
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 00:42: |
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Lieber H.R.!
Dass beide Lösungen rational sein müssen, liegt ja bereits in der Tatsache begründet, dass die Wurzel aus der Diskriminante der quadratischen Gleichung (480) ganzzahlig ist.
r1,2 = [1160 +/- 480]/82 und
r1 = 680/82 = 340/41 (id est!)
Es kann nicht gut sein, dass die eine Lösung einer quadratischen Gleichung (mit rationalen Koeffizienten) irrational und die andere rational ist.
lG
mYthos
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2159
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 07:42: |
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Hi mythos, hi elsa,
@mythos
Natürlich bin ich mir über die Beschaffenheit der
beider Lösungen von allem Anfang an bei einem Klaren
im Klaren gewesen.
Ich habe mich nur gewundert, dass Du bei der ersten
den exakten Wert und bei der zweiten „bloss“ einen
Näherungswert angegeben hattest.
Ich wollte mit meiner Bemerkung nur die zweite Lösung
der ersten gleichstellen.
@elsa
Der Ansatz von mythos ist der Ansatz, der
mit schulgerechten Methoden zum Ziel führt und einem
wohl zuerst einfällt.
Dass die Rechnung länger wird, ist den Umständen
zuzuschreiben (schwieriges Problem) und spricht nicht
gegen die Methode.
Die Aufgabe ist bekanntlich eine der zehn Apollonischen
Berührungsaufgaben.
Sie wird in Insiderkreisen als mittelschwierig bis schwierig
taxiert.
Wenn Interesse vorhanden ist, zeige ich, wie man die noch
schwierigeren Aufgaben aus diesem Strauss behandelt.
Ich selbst habe privatim die Lösung der Aufgabe von Lisette
etwas anders gerechnet.
Zugegeben: meine Methode gibt auch einiges zu tun!
Um Abwechslung zu schaffen, habe ich bewusst darauf
verzichtet, die Diskriminantenmethode zu verwenden:
es geht auch anders.
Am Schluss haben wir alle dasselbe Resultat,
ist das nicht herrlich?
Ich komme bei günstiger Gelegenheit auf die Angelegenheit
zurück.
Mit herzlichen Grüssen
Nach WIEN
Hans Rudolf
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2160
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 10:13: |
|
Hi elsa,
Es folgt die Skizze meiner rechnerischen Lösung zur
Berührungsaufgabe von Lisette.
Als Ansatz für die Gleichung des gesuchten Kreises c,
Mittelpunkt M*, wähle ich die Form
x^2 + y ^2 + 2 A x + 2 B y + C = 0
Die Koeffizienten A und B hängen bekanntlich
so mit den Mittelpunktskoordinaten xM, yM zusammen:
xM = - A , yM = - B
Um Verwechslungen vorzubeugen, bezeichnen wir die
gegebenen Punkte auf c mit P(-5/8),Q(-9/4)
statt auch mit A und B.
Wir leiten drei Gleichungen für A, B ,C her:
I.
Der Kreis c geht durch P, somit:
10 A - 16 B = C + 89……………………………………….(I)
II.
M* liegt auf der Mittelsenkrechten x + y = - 1
der Strecke PQ, also gilt :
A + B = 1…………………………………………………..(II)
III.
Die Potenzgerade p des gegebenen Kreises k
und des gesuchten Kreises c ist eine gemeinsame
Tangente beider, berührt also insbesondere den Kreis k.
Somit hat die Potenzgerade p von M(3/13)
den Abstand r = 5 (Radius von k!).
Umsetzung
Gleichung der Potenzgeraden p
(Subtraktion der auf null gebrachten normierten
Kreisgleichungen, geordnet):
2 * (A + 3) x + 2 *( B + 13 ) y + C – 153 = 0
Abstandsbedingung mit Hesse, bruchfrei:
6 A + 26 B + C + 203 = 5 sqrt [4(A+3)^2+4(B+13)^2 ]……..(III)
Nun eliminiert man der Reihe nach B und C und erhält nach
braver Rechnung die quadratische Gleichung für A:
41 A^2 – 922 A + 1281 = 0 mit den Lösungen
A1 = 21, A2 = 61/41, daraus hinwiederum
B1 = -20, B2 = - 20/41
C1 = 441, C2 = - 2719/41.
Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 740
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 15:48: |
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Hi Megamath,
natürlich besteht interesse an weiteren Methoden, mit deren Hilfe man solche Aufgaben lösen kann.
Deine Mathoden sind meist nichtmal in Lehrbüchern zu finden und grade deshalb so von interesse!
Gruß N.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1250
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 17:49: |
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@M.M.m. & m
mit solchen Aufgaben habe ich mich auch schon öfter
vergeblich herumgeschlagen -
verallgemeinert sehe ich es als die Aufgabe,
die Schnittpunkte 2er Kegelschnitte zu bestimmen.
Ist das für den allgemeinen Fall überhaupt Konstruktiv möglich? ( intelligent, nicht blos die geometrische
Umsetzung eines analytisch ermittelten Ausdrucks
) .
In meiner TGM-Zeit hatten wir mal in Darstellender Geometrie eine Aufgabe bekommen, bei der der Prof. verlangte, sie durch den Schnitt 2er Hyperbeln zu lösen - tatsächlich gezeichneter Hyperbeln, also nur ungenau.
Ich kann mich erinnern, daß ich das auf eine exakte 3ecksKonstruktion "vereinfachte", das "Kurvenlineal" war mir zuwider
nicht erinnern kann ich mich an die Aufgabenstellung und meine Lösung.
Ich
schreibe das hier, denn Lisettes Aufgabe kann auch
als die Aufgabe, eine Gerade mit einer Hyperbel
ode 2 Hyperbeln miteinander zu schneiden, betrachtet werden.
mfG
F.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2161
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 20:00: |
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Hi allerseits,
ich bin von verschiedenen Seiten gebeten worden,
eine konstruktive Lösung der Berührungsaufgabe
einen Kreis durch zwei Punkte zu ermitteln, welcher
einen gegebenen Kreis berührt, hier darzulegen.
Gerne komme ich diesem Wunsch entgegen;
Ich komme leider nicht darum herum, vom Begriff der
Potenz bei Kreisen Gebrauch zu machen.
Allgemeines
Zwei Kreise haben zusammen eine so genannte
Potenzgerade p.
Auf ihr liegen alle Punkte der Ebene, welche bezüglich
der beiden Kreise dieselbe Potenz haben.
Für Punkte Po auf p, welche ausserhalb der Kreise
liegen, bedeutet dies, dass die Tangentenstrecken
von Po aus an die beiden Kreise gleiche Länge haben.
Schneiden sich die Kreise, so ist die Potenzgerade die
Verbindungsgerade ihrer Schnittpunkte,
berühren sie sich, so ist p die gemeinsame Tangente
beider Kreise.
Kommt ein dritter Kreis dazu, so haben die drei Kreise
paarweise eine Potenzgerade; diese drei Potengeraden
müssen sich in einem Punkt P, dem Potenzpunkt
der drei Kreise, schneiden.
Liegt P ausserhalb der Kreise, so sind alle
Tangentenstrecken von P aus an alle drei Kreise
gleich lang.
Spezielles
Diese Eigenschaft der Kreispotenz nützen wir zur
konstruktiven Lösung der vorliegenden Aufgabe aus.
Als erstes legen wir durch die Punkte A, B
einen Hilfskreis h, der den gegebenen Kreis k in zwei
Punkten C und D schneidet.
(Mittelpunkt auf der Mittelnormalen der Strecke AB)
Jetzt sind drei Kreise im Spiel:
Der gegebene k, der gesuchte c und der Hilfskreis h.
Wir ermitteln den Potenzpunkt P der drei Kreise.
Das geht so:
Die Verbindungsgerade g der Punkte C,D ist die
Potenzgerade der Kreise h, k
Die Verbindungsgerade a der Punkte A,B ist die Potenzgerade
des Kreises h und des gesuchten Kreises c.
Der Potenzpunkt ist der Schnittpunkt der Potenzgeraden
g und a.
Da sich die Kreise c und k berühren müssen,
ist ihre Potenzgerade p identisch mit einer der beiden
Tangenten u oder v von P aus an den gegebenen Kreis k.
Die Verbindungsgerade einer dieser Berührungspunkte
mit dem Mittelpunkt M von k schneidet die
Mittelsenkrechte der Sehne AB im Mittelpunkt M* einer
der gesuchten Kreise c.
Genaue Daten der beiden Lösungen (rechnerisch):
c1:
Mittelpunkt M*: xM* = - 21, yM* = 20,
Radius r* = 20.
c2:
Mittelpunkt M%: xM% = - 61/41, y% = 20/41,
Radius r% = 340/41.
Viel Vergnügen bei der Realisation !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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lisette (lisette)
Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 07:37: |
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Hallo mythos,hallo megamath
Endlich komme ich dazu,für die zahlreichen Hilfen,
die ich von Euch erhalten habe,herzlich zu danken.
Ich merke:ich habe einen riesigen Nachholbedarf
in Grundkenntnissen der Geometrie und versuche,nachzuarbeiten!
Nochmals besten Dank für Eure Bemühungen.
MfG
Lisette |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 741
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 07:39: |
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Hi Megamath,
wenn du nichts dagegen hast würden gerne Ferdi und ich diesen Beitrag in Unser "Analytische Geometrie Buch" aufnehmen.
Ferdi und Ich haben nähmlich folgendes Projekt gestartet:
Da Ferdi und mir das Thema sehr interessant erscheint und wir kein Vernünftiges Geometriebuch gefunden haben und selbst wenn- viele der Verfahren die du hier immer aus dem Hut zauberst nicht drinn stehen würden haben wir beschlossen Zahlreich Beiträge zu sammeln und sie in einen Skript zusammenzufassen, damit die Aufgaben und eleganten Lösungen nicht immer in die Tieferen Abgründe des Boards verschwinden.
Beispielsweise werden auch im Skript nochmal viele der "LF Aufgaben" aus den letzten Wochen im Skript erscheinen.
Falls du noch weiter Material hast allles an meine e-mail schicken. Von Ferdi habe ich auch schon einiges Material bekommen!
Gruß Niels
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2163
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 08:00: |
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Hi Niels
Zu deiner Anfrage möchte ich mich
grundsätzlich positiv (>0) stellen;
ich beanspruche kein copyright!
Es war immer meine Intention, durch meine Antworten
nicht nur den Fragesteller (die Fragestellerin) direkt zu
beglücken, sondern möglichst vielen Studierenden etwas
zu bieten.
Es soll nichts verloren gehen, was im Laufe der Zeit sich
an tollen Aufgaben und ebensolchen Lösungen angesammelt
hat.
In diesem Sinne werde ich weitere Arbeiten stets über
zahlReich laufen lassen, ich habe mich daran gewöhnt
bei der Abfassung von über zweitausend Arbeiten
während dreier Jahre.
Besten Dank für Deine Anfrage und
freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1252
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 10:28: |
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Ich habe es nun rechnerisch, für die Ebene, nachgeprüft, dass der Ort aller Punkte, für die die Länge der Tangente an 2 Kreise gleich ist, eine Gerade ist
(
wenn die Mittelpunkte bei (a;0),(A;0) liegen,
Radien r,R, dann ist die Potenzgerade
x = (r²-R² - a²+A²) / [2*(a+A)]
) ,
aber
geometrisch ist es mir nicht gelungen.
Zeigt das, bitte, noch jemand?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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