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Jan (m3ph1sto)
Junior Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 16:58: | 
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Hallo,
Schwierigkeiten bereiten mir die folgenden Probleme:
Gegeben sind die Ebene E(1) x - 3x + x= 2 und die Punkte A(3;2;-2) und B(-1;1;3).
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E(2), die orthogonal ist zu E(1) und A,B enthält.
Meine Lösungsidee:
n= (1;-3;1)
n*(3;2;-2)= 0
n*(-1;1;3)= 0
Aus der anschließenden Rechnung folgt:
n(2)= (8;7;5)
(8;7;5)*(3;2;-2[=Stützvektor v. E(2)])= 28
E(2)= 8x+7x+5x=28
Die Ebene ist jedoch nicht orthogonal zu E(1). Demnach ist der Lösungsweg falsch.
--
e) Bestimme eine Ebene E(3), welche die Strecke AB in A orthogonal schneidet.
f) Bestimme eine Gerade g, die parallel zu E(1) und E(3) verläuft sowie durch B geht.
Die letztgenannten Aufgaben sagen mir nun wirklich überhaupt nicht, obwohl f) wohl an a) angelehnt zu sein scheint.
Antworten erhoffend
Jan |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 783
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 18:52: |
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Hi,
Tipp zu a)
Die gesuchte Ebene enthält die Gerade durch A und B, mit dem Richtungsvektor u. Sie gesuchte Ebene soll die Ebene E senkrecht schneiden, mit dem Normalenvektor v.
Liegt eine Gerade in einer Ebene so ist ihr Richtungsvektor orthogonal zu deren Normalenvektor! Schneidet einen Ebene eine andere senkrecht, so sind ihre Normalenvektoren orthogonal zueinander!
Du sucht also einen Vektor n der senkrecht zum Normalenvektor v und zum Richtungsvektor u ist!
Hierzu bietet sich das Kreuzprodukt an: n = u x v!
Oder du löst das Gleichungssystem:
I) n*u=0
II) n*v=0
Wenn du n hast ist der Rest eine Kinderspiel!
mfg |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1230
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 19:00: |
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ich nehme an, die Ebene soll x - 3y + z = 2 lauten.
Du mußt die Schnitte Normalen auf E durch A, B finden
Normale durch A:
(3; 2; -2) + u*(1;-3; 1), entsperchende x,y,z in E Gleichung einsetzen
ergibt das u des Schnittpunkts S1
damit
erübrigt sich schon die Normale durch B,
denn
mit A, B, S1 ist die Normalebene gegeben.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jan (m3ph1sto)
Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 20:18: |
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Danke erst einmal für die Lösungshilfen.
Ich habe den noch unbekannten Normalvektor mit dem Vektor AB der Geraden gleich null gesetzt und skaliert, sowie den Vektor der ersten Ebenengleichung, der bekannt ist, mit besagtem Vektor gleich null gesetzt skaliert.
Ich erhielt zwei Gleichungen die ich dann aufgelöst habe und folgendes Ergebnis erhielt:
n= (4;9;3)
n* OA= 34
4x + 9y + 3z=34
Allerdings habe ich weiterhin die Schwierigkeit, dass nun eine dritte Ebene gesucht sei, die die Strecke AB in A orthogonal schneidet.
Weiterhin wird eine Gerade gesucht, die parallel zu E1 und E3 verläuft sowie durch B geht.
Ich kann mir z zt nicht vorstellen, wie das berechnet werden kann.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1232
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 20:47: |
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AB, also B-A = (a1; a1; a3) ist ein Normalvektor
der nun gesuchten Ebene,
sie
hat also die Gleichung x*.. + y*.. + z*.. = "NochUnbekannt",
und
das "NochUnbekannt" ergibt sich durch Einsetzen des (x;y;z)Tupels
des Punktes A den sie enthalten soll.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jan (m3ph1sto)
Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 21:27: |
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Gut. Bleibt nur noch die gesuchte Gerade g, die parallel zu E1 und E3 verlaufen soll sowie durch B geht.
Das bedeutet ja, dass E1 und E3 parallel sein müssten, oder?
Sie scheinen es jedoch nicht zu sein:
n1= (1;-3:1), n2= (-4;-1;5) sind keine Vielfachen voneinander. |
Jan (m3ph1sto)
Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 21:42: |
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Ich beantworte mir die Frage vorwegnehmend selbst:
Eine Gerade ist zu einer Ebene parallel, wenn die Gerade orthogonal ist zu einer normalen der Ebene.
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Gute Nacht |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1233
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 22:03: |
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ja, und einer Gerade ist parallel zu zwei schneidenen Ebenen wenn sie parallel zur Schnittgerade der beiden Ebenen ist.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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