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LF XXVI : Dreieck ABC mit gegebenem ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Sonstiges » Archiviert bis 24. Juni 2003 Archiviert bis Seite 26 » LF XXVI : Dreieck ABC mit gegebenem Umkreis « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2152
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juni, 2003 - 10:35:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Ein geneigter Leser hat mich um eine Zugabe
zu den Aufgaben der lockeren Folge LF gebeten.
Ich komme dieser Bitte gerne nach und mache einen
vorläufigen Schlusspunkt mit einer Aufgabe LF XXVI
aus der analytischen Geometrie der Ebene, die aber auch
als Konstruktionsaufgabe im Sinne der Planimetrie
gelöst werden kann.

Die Aufgabe lautet:
Von einem Dreieck ABC kennt man die Ecke B(8/5)
Und den Umkreismittelpunkt U(-2/5).
Der Kreis (x-4)^2+(y-4)^2 = r^2 geht durch die drei
Seitenmitten des Dreiecks.
Bestimme r und Koordinaten der Ecken A und C.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Walter H. (mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 536
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juni, 2003 - 23:04:   Beitrag drucken

aus U und B folgt der Radius des Umkreises => R = 10

A(xa|ya)
C(xc|yc)

I: (xa+2)^2 + (ya-5)^2 = 10^2
II: (xc+2)^2 + (yc-5)^2 = 10^2
III: ((xa+8)/2-4)^2 + ((ya+5)/2-4)^2 = r^2
IV: ((xc+8)/2-4)^2 + ((yc+5)/2-4)^2 = r^2
V: ((xa+xc)/2-4)^2 + ((ya+yc)/2-4)^2 = r^2

5 gleichungen, 5 variablen :-)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2153
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juni, 2003 - 07:48:   Beitrag drucken

Hi Walter,

Besten Dank für Deinen Vorschlag.
Er ist korrekt.
Meine Empfehlung:
Ermittle in erster Linie den Radius r !
Erst dann kannst Du daran denken, das System aufzulösen; die Götter haben aber zu dieser Arbeit
viel Schweiss hinzu gesetzt.
Es gibt einfachere Methoden zur Lösung;
ich möchte Dich aber nicht entmutign,weiter
daran zu arbeiten

MfG
H.R.Moser,megamath

Es wird nicht so leicht zu bearbeiten sein
des mehrfach benützten Kreises
Die Gleichungen sind alle richtig
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*** (hydra)
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Benutzername: hydra

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 16:37:   Beitrag drucken

o tempora, o mores!

Erkennen die Schüler von heute denn wirklich nicht einmal mehr den Feuerbachkreis?

***
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 537
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 20:26:   Beitrag drucken

An den hab ich gedacht => hilft mir diese Kenntnis weiter?

p.s. offiziell lernt den keiner in der Schule => nur im Mathe.-Olymp. Kurs :-)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
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*** (hydra)
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Benutzername: hydra

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 09:49:   Beitrag drucken

Ich bin zwar schon etwas eingerostet, aber ich versuche eine konstruktive Lösung:

Im gesuchten Dreiecks ABC bezeichne U den Umkreismittelpunkt, M9 den Mittelpunkt des Feuerbachkreises, H den Höhenschnittpunkt, S den Schwerpunkt und MAC den Halbierungspunkt der Seite AC .

1) M9 teilt UH im Verhältnis 1:1 ==> H
2) S teilt UH im Verhältnis 1:2 ==> S
3) S teilt BMAC im Verhältnis 1:2 ==> MAC
4) Die Eckpunkte A(-8/-3) und C(6/11) ergeben sich als Schnittpunkte der Normalen auf BH durch MAC mit dem Umkreis.

@Walter: Eine Alternative für die rechnerische Lösung mit deinen Gleichungen wäre die Verwendung der Tatsache, dass der Umkreisradius gerade gleich dem Durchmesser des Feuerbachkreises ist.

***
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 538
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 11:19:   Beitrag drucken

Danke damit ist mein Gleichungssystem trivialst gelöst, weil r = 5 dann gilt;

4*III-I: ergibt eine lin. Gleichung in xa und ya; daraus eine gleichung f. ya bestimmen und in I einsetzen; ergibt eine quadratische Gleichung in xa;

4*IV-II: ergibt eine lin. Gleichung in xc und yc; daraus eine gleichung f. yc bestimmen und in II einsetzen; ergibt eine quadratische Gleichung in xc;

dies ergibt 2 Lsg., welche nur vertauscht sind :-)

es gilt dann:

r = 5
A(-8|-3)
C(6|11)

bzw.

r = 5
A(6|11)
C(-8|-3)

die beiden Eckpunkte sind dann (6|11) und (-8|-3)
und das Problem ist gelöst;

(Beitrag nachträglich am 15., Juni. 2003 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2154
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 13:02:   Beitrag drucken

Hi ***( hydra) ; Hi Walter

Herzlichen Dank für Eure Bemühungen!
Ich setze noch den Schlusspunkt.

Zur Lösung der Aufgabe., verfasst vom Aufgabensteller
Bezeichnungen:
M1(-2/5) ist der Mittelpunkt des Umkreises k1 vom Radius R = 10

U ist der Mittelpunkt der Seite AB,
V derjenige der Seite BC und
W derjenige der Seite AC.

Der Kreis k2 mit Mittelpunkt M2 , der durch U,V,W geht,
hat den Radius r = ½ * 10 = 5
wie man aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und UVW leicht erkennt.

Da die Gerade M1 U auf der Geraden BU (=BA) senkrecht steht, liegt U
auf dem Thaleskreis k* mit M1 B als Durchmesser. der Länge 10;
somit gilt für den Radius r* = 5.
U ergibt sich daher als Schnittpunkt des Kreises k* mit dem Kreis k2

Da die Gerade M1 V auf der Geraden BV (=BC)senkrecht steht, liegt V
auf demselben Thaleskreis k*.
V ergibt sich daher als zweiter Schnittpunkt des Kreises k* mit dem Kreis k2

Au s U und V lassen sich die Ecken A und C leicht finden.
Von selbst liegt der Mittelpunkt W der Seite AC auf k2, wie verlangt wird..

Rechenschritte
Thalekreis k*: x^2 + y^2 – 6 x – 10 y + 9 = 0
Kreis k2 (Feuerbach): x^2 + y^2 – 8x – 8y +7 = 0
Durch Subtraktion dieser Gleichung entsteht die Gleichung
x – y = -1, welche als lineare Gleichung eine Gerade p darstellt.
p verbindet die beiden Schnittpunkte U und V der Kreise k* und k2,
p ist die so genannte Potenzgerade der beiden Kreise.
Schneidet man k* mit p , so erhält man als Schnittpunkte
U(0/1),V(7/8),woraus sich sofort A(-8/-3) und C(6/11) ergeben.
Der Mittelpunkt W(-1/4) liegt auf dem Kreis k2, wie es sich gehört.

Damit ist die Aufgabe rechnerisch gelöst.; auch konstruktiv kommt
man mit den entsprechenden Überlegungen zum Ziel.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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