| Autor |
Beitrag |
    
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1196
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juli, 2011 - 20:04: | 
|
** Auf Wunsch des Fragestellers ohne Namen neu eingestellt
Das Originalposting ist vom 06.09.2003 **
Hallo Leute!
Kann mir jemand von euch erklären, was ein Skalarprodukt ist? Ich finde in meinen Unterlagen zwar Beispiele und Erläuterungen wie ich es berechnen kann, aber WAS ich da eigentlich berechne ist mir unklar.
Gruß
Manu |
Chatty Chan (chattychan)
Junior Mitglied
Benutzername: chattychan
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 12:10: |
|
Hi Manuela,
ein Skalarprodukt ist eine positiv definite Bilinearform von V über R wobei V als "Euklidischer Vektorraum" bezeichnet wird.
Also ich glaub zwar nicht das du das hören wolltest, aber so lautet halt die Definition des Skalarproduktes.
Wenn man von zwei Vektoren das Skalarprodukt bildet und es kommt NULL raus, dann sind beide Vektoren orthogonal zueinander. D.h. Sie haben einen rechten Winkel (90°). Im Abi wird es meist dazu verwendet um den Normalvektor einer Ebene zu berechnen. Der steht nämlich senkrecht auf ihr !!
Gruss
Chattychan |
Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 20:05: |
|
Wie berechnet man in aller Welt mit dem Skalarprodukt den Normalenvektor einer Ebene?
Ich habe dazu immer das Kreuzprodukt verwendet!
Und bei mir ist das Abi noch nicht sooooo lange her!
Tamar |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 779
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 20:15: |
|
Hi,
direkt mit dem Skalarprodukt nicht, aber man nutzt seine Eigenschaften dazu! Ich gebe zu das Normalenvektorberechung mit Kreuzprodukt deutlich einfacher ist!
Das Verfahren mit Skalarprodukt ist das folgende:
Man hat die beiden Richtungsvektoren u und v der Ebene E. Sei n der gesuchte Normalenvektor der Ebene, dann muss ja gelten n*v=0 und n*u=0, das ist ja eine Anwendung des Skalarproduktes!
Ein einfaches Beispiel
Sei u=(1,0,1) und v=(0,1,0) und n=(x,y,z)
Man erhält nun, danke Skalarprodukt die beiden Gleichungen:
I) x+z=0
II) y=0
==> x=-z und y=0 also n=(-z,0,z) oder z*(-1,0,1)! Und das ist der ganze Witz! Mit Kreuzprodukt wäre es wohl doch schneller geganzen, vorallem bei nicht so einfachen Beispielen!
mfg |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 572
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juni, 2003 - 23:09: |
|
Hi,
das Skalarprodukt zweier Vektoren a,b ist - in einer geometrischen Definition - gleich dem Produkt der Länge des ersten Vektors mal der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten, in der Skizze also SA * SB'.
Damit kannst Du Dir leicht klarmachen, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren dann gleich dem Produkt der Längen ist, wenn die zwei Vektoren parallel (linear abhängig) sind.
Wenn die Vektoren normal aufeinander stehen, ist deren Skalarprodukt gleich Null; auch das ist einleuchtend, denn dann verschwindet b' zu Null.
Es ist leicht zu ersehen, dass das Skalarprodukt eng mit dem Winkel, den die beiden Vektoren miteinander einschließen, einhergeht:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a, b ist (geometrisch) definiert als das Produkt der Beträge (Längen) dieser Vektoren mal dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels (weil es eben das Produkt der Läge des einen Vektors mal der Länge der Projektion des einen auf den anderen Vektor ist).
a.b = |a|*|b|*cos[w(a,b)]
Analytisch geht's noch einfacher, da ist es (z.B. in RxRxR) die Summe der Produkte der x-, y- und z- Komponenten der beiden Vektoren:
a(xa|ya|za), b(xb|yb|zb) - > a.b = xa*xb + ya*yb + za*zb
Das Ergebnis ist jedenfalls eine Zahl (und kein Vektor), die man daher Skalar nennt.
Die Verknüpfung zweier Vektoren mittels des skalaren Produktes zu einem Skalar stellt - weil sie nicht wieder einen Vektor ergibt, sondern einen Skalar - keine innere Verknüpfung dar, sondern ist eine äußere Verknüpfung. Im Gegensatz dazu ist die Vektormultiplikation mittels des Kreuzproduktes eine innere Verknüpfung, denn deren Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Das skalare Produkt zweier aufeinander normal stehenden Vektoren ist Null, weil cos(90°) = 0 (die Projektion des einen auf den anderen Vektor verschwindet).
Gr
mYthos
|
|
