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Schnuffeline (schnuffeline)
Mitglied
Benutzername: schnuffeline
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 11:13: | 
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Hallo,
kann mir jemand sagen wie man für die Funktion f:x --> x^x auf die erste und zweite Ableitung kommt, die Nullstellen und die Hoch- und Tiefpunkte errechnet?
für f´erhalte ich (x^x)*lnx und für
f´´ (x^x)*lnx*lnx+(x^x)*1/2x
ich bin mir aber absolut nicht sicher ob das stimmt.
Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 744
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 12:08: |
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Hi,
Potenzgestze anwenden:
xx=eln(x^x)=ex*ln(x)
Daraus ergibts sich dann:
f'(x)=(1+ln(x))*xx
f''(x)=((1+ln(x))^2*x^x)+x^(x-1)
mfg |
Schnuffeline (schnuffeline)
Mitglied
Benutzername: schnuffeline
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 10:33: |
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Hallo,
wo kommt denn die 1 in den beiden Ableitungen her?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1192
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 11:12: |
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aus der Anwendung der Produktregel auf den Exponenten x*lnx
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Schnuffeline (schnuffeline)
Mitglied
Benutzername: schnuffeline
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 16:13: |
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dann müsste man aber doch nur bei f´´ die 1 haben und nicht bei f´, oder?
Kann mir jemand sagen wie man für die Funktion Hoch- und Tiefpunkt und die Nullstellen berechnet? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 751
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 16:21: |
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Kettenregel und Produktregel!
ex*ln(x)= eg(x)
f'(x)=eg(x) * g'(x) (!!)
Mit g(x)=x*ln(x) ==> (Produktregel!!) g'(x)=1+ln(x) voila!
Keine Nullstellen, da xx nie null wird!
Extrema: (1+ln(x))*xx=0
==> 1+ln(x)=0
ln(x)=-1
x = e-1 = 1/e
mfg |
Evi (eviii)
Mitglied
Benutzername: eviii
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 16:14: |
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Es gibt Nullstellen! 0^0 = 0
=> Nullstelle bei 0!
Gruß evi |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1313
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 16:24: |
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Hi Evi
Das ist aber nicht ganz richtig. 00 ist ein unbestimmter Ausdruck!
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1314
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 16:31: |
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Hi nochmal
Kleine Ergänzung zu meiner Bemerkung noch. In manchen Fällen ist es sinnvoll 00 als 0 zu definieren. In diesem Fall allerdings würde das keinen Sinn machen, denn
xx=ex*ln(x)
Berechnen wir mal den Grenzwert für x->0
lim(x->0) x*ln(x)
=lim(x->0) ln(x)/(1/x)
Regel von l'Hospital anwenden
=lim(x->0) -x=0
=> lim(x->0) xx=lim(x->0) ex*ln(x)=1
Man könnte also in diesem Fall xx:=1 definieren um die Funktion stetig fortzusetzen. Im negativen Bereich ist die Funktion ohnehin nur für ganze Zahlen definiert, außer man erweitert den Wertebereich auf die komplexen Zahlen.
MfG
C. Schmidt |
Evi (eviii)
Mitglied
Benutzername: eviii
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 16:46: |
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Danke für die Erläuterung! Als ich darum bitten wollte ist bei mir mal wieder alles zusammengebrochen!
Gruß evi |
