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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2112
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juni, 2003 - 14:47: | 
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Hi allerseits
Hier kommt sie, die Nummer XV der lockeren Folge,
wiederum aus der Geometrie!*
Für die folgenden Aufgaben wird eine stereometrische
Lösung gesucht.
Wie konstruiert man den Mittelpunkt einer Kugel,
von welcher je vier Bestimmungsstücke
gegeben sind?
Diese Daten sind:
a)
drei Punkte A,B,C und der Radius r.
b)
drei Punkte A,B,C und eine Tangente t mit A als
Berührungspunkt.
c)
drei Punkte A,B,C und eine Tangentialebene tau.
d)
zwei Tangentialebenen tau1 und tau2 und der
Berührungspunkt T auf tau1.
Musterlösung zu a)
M liegt auf der Normalen zur Ebene des Dreiecks ABC
im Mittelpunkt des Umkreises und auf der Kugel mit
Radius r und mit A als Zentrum.
Es gibt i.a. 2 Lösungen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 741
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juni, 2003 - 18:53: |
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Hi,
mein Vorschalg zu d)
Der Mittelpunkt liegt auf der Geraden durch den Berührpunkt T mit Richtungsvektor n, wobei n Normalenvektor von tau1 ist. Der Mittelpunkt ist nun der Punkt auf dieser Geraden der zu tau1 und tau2 den selben Abstand hat, nämlich r, den Radius der Kugel.
Mein(wenn auch einfaches) Beispiel:
tau1 2x+2y+z=0 mit T(0|0|0)
tau2 2x+2y+z=18
Gerade: t*(2,2,1)
mit HNF von tau1 und tau2 ergibt sich als einzig möglicher Mittelpunkt mit t=1 ==> M(2|2|1), der Radius der Kugel beträgt dann 3!
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 707
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 08:31: |
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Hallo,
Ich würde folgendes sagen:
b) Da der Berührpunkt A ist können wir wenig mit den Angaben anfangen.
Eine Tangente an der Kugel ist ja in ihrer Richtung nicht eindeutig, also bringt uns die Tangentengleichung in Punkt A sogut wie keine Informationenen. ich würde daher folgendes Vorschlagen.
Aus den drei Punken A, B, C ermittle man einen Kries mit Radius r und Mittelpunkt M. dieser Mittelpunkt M ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Kugel. Der Verlauf der Tangente ist dabei uninteressant. Wir machen praktisch aus der Tangente an der Kugel, eine Tangente an den Kreis, der durch die Punkte A, B, C verläuft.
c)
Ich würde rein rechnerisch so vorgehen:
Aus der gegebenen Tangentialebenen Tau ermittelt mann Berührpunkt T an der Kugel und Radius r der Kugel.
entweder ermittelt man nun über 4 Punkte A, B, C, T den Mittelpunkt und Radius der Kugel, oder man nimmt den schon ermittelten Radius und arbeitet dann mit 3 Punkten.
Ich habe das noch nicht probiert so auszurechenen- das sind erstmal meine abstrakten Gedanken dazu!
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2113
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 08:45: |
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Hi
Bei den Lösungen zu den Aufgaben aus LF XV
geht es darum, stereometrisch den
Kugelmittelpunkt M zu bestimmen.
ad b)
M ergibt sich als Schnittpunkt der Normalen zur
Ebene des Dreiecks ABC im Mittelpunkt U des
Umkreises dieses Dreiecks mit der Normalebene
zur Tangente im Berührungspunkt.
ad c)
Wir schneiden die Verbindungsgerade zweier
Punkte, z.B. der Punkte A und B mit der
Tangentialebene tau im Punkt Q.
Die beiden möglichen Berührungspunkte der
Kugel mit tau liegen nach dem Sekanten-
Tangentensatz auf dem Kreis dieser Ebene
mit Q als Mittelpunkt und dem Radius
rho = sqrt(QA*QB)
NB: rho ist also das geometrische Mittel der
Streckenlängen QA und QB.
Dieses Verfahren wird mit einer anderen
Verbindungsgeraden BC oder CA wiederholt.
Ein Berührungspunkt T in tau ergibt sich
somit als Schnittpunkt zweier Kreise in tau.
In T wird die Normale n zu tau errichtet.
M ist der Schnittpunkt von n mit der
Mittelnormalebene der Strecke AB
(oder BC oder CA).
ad d)
Um M zu erhalten, schneiden wir die beiden
winkelhalbierenden Ebenen der Tangentialebenen
mit der Normalen durch T zu tau1.
@ Ferdi
Auch Deine Aufgabe hat nach meiner Meinung zwei
Lösungen.
Die Beträge der Abstände eines laufenden Punktes von
tau1 und tau2 müssen gleich sein, nicht mehr und nicht
weniger.
Diese Bedingung liefert zwei Winkelhalbierungsebenen.
Man wird deshalb auch die nach Hesse errechneten
Abstände als entgegengesetzt gleiche Werte in die Rechnung
mit einbeziehen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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