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Sarah (xara)
Neues Mitglied
Benutzername: xara
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 20:09: | 
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Möchte Stammfunktion vom Integral sqrt(x^2+4) dx m.H. Substitution herausfinden.
Komm nicht weiter.
Habe laut Papula sqrt(x^2+4) durch 2*cosh(u) ersetzt. und dx durch 2*cosh(u) du.
Kenn aber die Rechenregel für Hyperbolicus nicht.
Die Lösung sei x/2 * sqrt(x^2+4)+ 2*arcsinh(x/2) +C
Danke im Voraus. |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 512
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 20:42: |
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Rechenregeln der Hyperbolischen Winkelfkt.
cosh^2(u) - sinh^2(u) = 1
Þ
4cosh^2(u) = 4sinh^2(u) + 4
daher liegt es nahe
x mit 2sinh(u) zu subst.
2sinh(u) = x
sinh(u) = x/2
u = arsinh(x/2)
du/dx = 1/sqrt(4+x^2)
du = dx/sqrt(4+x^2)
sqrt(4+x^2)du = dx
2cosh(u)du = dx
daher INT 4cosh^2(u) du
cosh(2u) = sinh^2(u) + cosh^2(u)
cosh(2u) = cosh^2(u) - 1 + cosh^2(u)
cosh(2u) = 2cosh^2(u) - 1
cosh(2u) + 1 = 2cosh^2(u)
2cosh(2u) + 2 = 4cosh^2(u)
daher INT 2cosh(2u) + 2 du = sinh(2u) + 2u + C
sinh(2u) = 2sinh(u)cosh(u)
sinh(2u) = 2sinh(u)sqrt(sinh^2(u)+1)
sinh(2u) = 2sinh(u)sqrt(4sinh^2(u)+4)/2
sinh(2u) = x*sqrt(x^2+4)/2
u = arsinh(x/2)
2u = 2*arsinh(x/2)
Deine Stammfkt. lautet daher
x*sqrt(x^2+4)/2 + 2*arsinh(x/2) + C
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Sarah (xara)
Neues Mitglied
Benutzername: xara
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 16:46: |
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Danke. Ich probier das gleich mal. |
