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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2102
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 16:00: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer XIII der lockeren Folge,
eine ganz besondere Nummer aus der Geometrie!*
Eine Kugel k ist durch den Mittelpunkt M(a/a/a) und den
Radius r = a gegeben, wobei a eine gegebene positive
Konstante ist.
Die Ebene E: x + y + z = 3a schneidet die Kugel in Kreis c.
Es gibt zwei Kugeln, welche die Ebene E ebenfalls im Kreis c
schneiden und die Ebene z = 4 a berühren.
Man bestimme die Gleichungen dieser Kugeln.
Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 734
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 17:27: |
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Hi,
also eine Kugel hab ich gefunden, aber ich weiß auch nich wie ;-), war mehr mysteriöses raten als wissen:
Mittelpunkt: (2a | 2a | 2a) , Radius: 2a
Meine Daten zum Schnittkreis c: Mittelpunkt (a | a | a) , Radius: a
So, mal sehen, ob ich auch noch den Weg finde...
mfg
PS: Und natürlich die zweiten Kugel :-) |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 511
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 17:35: |
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(x-a)^2 + (y-a)^2 + (z-a)^2 = a^2
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 + z^2 - 2ay + a^2 = a^2
x^2 + y^2 + z^2 - 2a(x+y+z) + 3a^2 = a^2
x^2 + y^2 + z^2 - 2a(3a) + 2a^2 = 0
x^2 + y^2 + z^2 - 6a^2 + 2a^2 = 0
x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2
das ist eine Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 2a
z = 4a
x^2 + y^2 + 16a^2 = 4a^2 <-- des geht aber nicht
Wie geht des jetzt wirklich?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2103
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 17:38: |
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Hi Ferdi
Das Problem liegt tatsächlich bei der zweiten
Kugel (die erste ist o.k)!
Vor diesem Dilemma stand auch unser Nationalheld
Wilhelm Tell (CH),als er vom Landvogt Gessler gefragt wurde:
"Was wolltestlls Du mit dem zweiten Pfeil?"
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2104
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 19:23: |
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Hi Ferdi,Hi Walter
Die Gleichungen der beiden Kugeln
(es sind deren ZWEI !*)
lauten:
x^2 + y^2 + z^2 - 4a (x+y+z) + 8 a^2 = 0
x^2 + y^2 + z^2 + 6a (x+y+z) - 22 a^2 = 0
Eine Herleitung meinerseits kommt morgen !
Mit freudlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 735
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 09:32: |
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Hi,
ich bin schon auf deine Lösung gespannt!
Hast du dabei gebrauch von einem Kugelbüschel gemacht? Oder könnte man diese Aufgabe mit dieser Methode lösen? Seit ich Büschel hier im Board kennengelernt habe, faszinieren sich mich mit ihren Eigenschaften!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2105
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 09:50: |
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Hi Ferdi, Hi Walter
Hier kommt die versprochene Herleitung.
Ich führe Euch zwei Lösungsmethoden vor.
Beide beruhen auf der folgenden Grundbeziehung:
4 a –R = zM……………………………………………………………………(1)
°°°°°°°°°°°
R ist der Radius, zM die z-Koordinate des
Mittelpunktes M der gesuchten Kugel,
a die gegebene Konstante.
1.Methode
M liegt auf der Normalen n zur Ebene x+y+z = 3 a
des Kreises c, welche durch den Mittelpunkt N
von c geht.
Wir verwenden für die Parameterdarstellung von n
den Einheitsvektor e der Ebenennormalen,
damit die Gerade von Anfang an maßstäblich richtig
skaliert ist; wir setzen für den Vektor e an:
e = 1/sqrt(3)*{1;1;1}; die Gleichung von n lautet
mit t als Parameter:
x = a + 1/sqrt(3)* t
y = a + 1/sqrt(3)* t
z = a + 1/sqrt(3)* t………………………………………………………….(2)
Dadurch sind die Koordinaten eines laufenden Punktes M
auf der Normalen n dargestellt.
Sei K ein beliebiger Punkt des Kreises c.
Dann gilt nach Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck
KMN mit der Hypotenuse KM= R und den Katheten
MN = t , NK = a:
R^2 = a^2 + t^2……………………………………………………………..(3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Zunächst schreiben wir (1) mit Hilfe der Gleichung (2)
für z = zM so:
4 a - R = a + 1/ sqrt(3)* t oder
3 a – R = 1/ sqrt(3)* t……………………………………………………(4)
Wir ersetzen nun in (3) t^2 gemäß (4) durch
3*(3a – R)^2, und es kommt eine quadratische Gleichung
in R, die in vereinfachter Form so lautet:
R^2 – 9 a R + 14 a^2 = 0 mit den Lösungen
R1 = 2 a
R2 = 7 a
1.Fall:
R = 2a liefert mit(4): t = a*sqrt(3), daraus mit 2:
zM = 2a
2.Fall:
R = 7a liefert mit(4): t = -4a*sqrt(3), daraus mit 2:
zM = -3a
Dies führt auf die letzthin angegebenen Kugelgleichungen.
x^2 + y^2 + z^2 - 4a (x+y+z) + 8 a^2 = 0
x^2 + y^2 + z^2 + 6a (x+y+z) - 22 a^2 = 0
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2106
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 09:55: |
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Hi Ferdi,
Bei der 2.Methode,die ich später hier vorführen werde,verwende ich
tatsächlich den Begriff des Kugelbüschels.
Die Methode funktioniert gut,wenn man den Wald
vor lauter Bäümen nicht aus dem Auge verliert.
MfG
H.R. Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2107
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 12:47: |
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Hi,
Bei einer zweiten Methode soll der Begriff des Kugelbüschels
benützt werden
Im vorliegenden Fall wird das Büschel durch die gegebene
Kugel k mit der Gleichung
x^2+y^2+z^2 -2 a (x+y+z)+2a^2 = 0
und die Ebene E mit der Gleichung
x + y + z – 3 a = 0 bestimmt.
Mit Hilfe eines Parameters t lässt sich das Büschel durch die
Gleichung
x^2+y^2+z^2 -2 a (x+y+z)+2a^2+t (x+y+z–3 a)= 0
oder
x^2+y^2+z^2 +(t-2a) (x+y+z)+2 a^2–3 a t = 0
erfassen.
Wir führen zur Vereinfachung noch die Parametersubstitution
t – 2 a = 2 s , also t = 2s + 2a
mit s als neuem Büschelparameter durch.
Als Gleichung des Kugelbüschels erscheint dann:
x^2+y^2+z^2 + 2 s (x+y+z)- 4 a^2 – 6 a s = 0
oder durch quadratische Ergänzung:
(x + s)^2 + (y + s)^2 + (z + s)^2 = 4 a^2+ 6 a s+3 s^2
Wir lesen die Daten dieser Kugel ab:
z-Koordinate des Mittelpunktes: zM = - s
Radius R im Quadrat: R^2 = 4 a^2+ 6 a s+3 s^2
Nun verwenden wir die im ersten Abschnitt erwähnte
Hauptbedingung
4 a – R = zM
und setzen
R^2 = (4a – zM)^2 = (4a + s)^2.
Der langen Rede kurzer Sinn: wir erhalten eine
quadratische Gleichung in s:
s^2 – a s – 6 a^2 = 0 mit den Lösungen
s1 = - 2 a , s2 = 3a.
daraus:
1.Fall: zm = - s = 2 a ; R^2 = 4a^2; R = 2a
2.Fall: zm = - s = - 3 a ; R^2 = 49 a^2; R = 7a
Ende !
MfG
H.R.Moser,megamath.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 736
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 18:11: |
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Hi megamath,
besten Dank für deine Lösungen. Man lernt nie aus!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2109
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 18:26: |
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Hi Ferdi,
ich auch nicht!*
MfG
H.R.Moser,megamath |
