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lili (cattleya)
Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 08:24: | 
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1) Gesucht ist der Inhalt der Fläche A, die von f(x)=x^2, von g(x)= -1: (x+1), von der Geraden x=1 und der y-Achse eingeschlossen wird und sich im 1. und 4. Quadranten befindet.
2) Gegeben seien f(x)= 1:2x (x>0) und g(x)= -x. Zwischen den Graphen von f und g soll ein Streifen der Breite 1 eingeschlossen werden, der über dem Intervall [x; x+1] liegt, wobei x>0 sei.
Wie muss x gewählt werden, damit der Streifeninhalt minimal wird?
Über Hilfe würde ich mich total freuen!!! DANKE! |
Jasmin (häslein)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 10:00: |
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Hallöchen, ich schaue mal, was ich für dich tun kann. Hast du denn die Graphen zuerst mal gezeichnet? Wo hast du konkret dein Problem? |
Jasmin (häslein)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 10:14: |
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Du könntest zunächst mal die Schnittstellen berechnen, die f(x) und 1 sowie g(x) und 1 haben. Du wirst dann aber mehrere rausbekommen. Aber nur 2 liegen jeweils im ersten und vierten Quadranten. Es sind bei beiden Graphen 0 und 1, wie du anhand der Zeichnung sehen und deshalb nicht unbedingt ausrechnen müsstest.
Da die Fläche nun aber durch die x-Achse getrennt wird, musst du die Fläche in zwei Teilen berechnen:
A=ò0 1 f(x) dx + |ò0 1 g(x) dx|
Beim 2ten brauchst du die Betragsstriche, da die Fläche unter der Achse liegt, und du ein negatives Ergebnis bekommst. Es gibt aber keine negativen Flächen.
Verstanden? |
lili (cattleya)
Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 11:35: |
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Zu der 1. Aufgabe: Wie bildet man denn die Stammfunktion von -1 : (x+1)? Ansonsten habe ich sie schon gelöst!
Ich habe eher Probleme mit der 2. Aufgabe!! (das Ausrechnen und das Prinzip) Kannst du mir da mal helfen? |
Stefan Ott (sotux)
Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 14:59: |
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Hallo lili,
zu 1. geht am einfachsten mit substitution, wenn du u=x+1, du=dx setzt, dann siehst du, dass der ln rauskommt.
zu 2. der fahrplan sieht so aus:
f-g ausrechnen und stammfunktion bestimmen
bestimmtes integral von x bis x+1 ausrechnen
dann hast du eine normale Extremwertaufgabe, d.h. ableiten und nullstelle suchen! Gibt bestimmt ein schönes Minimum, weil f anfangs steiler als g und dann langsamer fällt (Zeichnung machen !)
sotux
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lili (cattleya)
Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 17:29: |
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Dankeschön! Ich versuch's mal! Und wenn's nicht klappt, dann frag ich nochmal! ;) |
lili (cattleya)
Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 18:17: |
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Hab jetzt alles! Nur noch eine Frage!  ) Wie ist denn eigentlich die Ableitung von -1 : (x^2 + x)? Irgendwas mit ln, oder? Kann mir mal jemand die Ableitung davon ausrechnen!! DANKE! ;) |
Jasmin (häslein)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 19:15: |
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Suchst du die Ableitung oder die Stammfunktion? Bei der Ableitung kannst du das einfach umschreiben in (-1)*(x²+x)^(-1), also
-(x²+x)^(-1). Dann bildest du die äußere Ableitung und multiplizierst sie mit der inneren:
(x²+x)^(-2)*(2x+1)
Logisch ???? |
lili (cattleya)
Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Mai, 2003 - 17:51: |
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Danke!!!  ) |
Claudia (megasupermausi)
Neues Mitglied
Benutzername: megasupermausi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 07:57: |
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Bitte helft mir................ |
Claudia (megasupermausi)
Neues Mitglied
Benutzername: megasupermausi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 08:05: |
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Die Punkte O(0/0), P(u/0) und Q(u/f5(u)) mit 0<u<5 bilden die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Berechne u so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird. Wie groß ist dieser maximale Flächeninhalt?
ft(x)=1/3x(x^2-2tx+t^2)
t=5 |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 562
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 13:01: |
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f5(x) = (1/3)*x*(x² - 10x + 25) = (1/3)*x*(x - 5)²
Q(u|f5(u))
f5(u) = (1/3)*u*(u - 5)²
Die Fläche des Dreieckes ist (1/2) mal der Determinante aus den Komponenten der beiden Vektoren OP und OQ, die das Dreieck bilden.
OP = (u;0)
OQ = (u;f5(u)
A = (1/2)*[u*f5(u)]
A geht hier einfach auch so: Das Dreieck ist rechtwinkelig und der Punkt P liegt auf der x-Achse (P und Q haben den gleichen x-Wert): A = a*b/2, somit ist
A = (u/2)*(1/3)*u*(u - 5)² = (u²/6)*(u - 5)²
1/6 kann man für die Ableitung weglassen ->
A(u) = u²*(u - 5)²
dA/du = A'(u) = 2u*(u - 5)² + 2u²*(u - 5)
[Produkt- u. Kettenregel]
A'(u) = 2u*(u - 5)*[u - 5 + u] = 2u*(u - 5)*(2u - 5)
A'(u) = 0 -> u1 = u, u2 = 5, u3 = 5/2
(u1, u2 scheiden aus, weil sonst A = 0)
f5(5/2) = (1/3)*(5/2)*(25/4) = 125/24
Der Punkt P ist somit P(5/2 | 125/24)
Wir zeigen noch das Maximum, d.h. dass die zweite Ableitung an der Stelle u/2 negativ wird:
A'(u) = 2u*(u - 5)*(2u - 5)
d2A/du² = A''(u) = 2*(u - 5)*(2u - 5) + 2u*(2u - 5) + 4u*(u - 5)
[Regel: (f*g*h)' = f'*g*h + f*g'*h + f*g*h']
.. oben (5/2) einsetzen, (2u - 5) ist ja Null
A''(5/2) = 0 + 0 - 25 < 0 .. Max.!
Nun war A = (u²/6)*(u - 5)², somit ist
A(max) = (25/24)*(25/4) = 625/96 = 6,51 E²
Gr
mYthos
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Wissen ist Macht, nicht wissen macht auch nichts |
Claudia (megasupermausi)
Neues Mitglied
Benutzername: megasupermausi
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juni, 2003 - 17:17: |
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wow, danke, *jubel*
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