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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2084
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 14:47: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer VI der lockeren Folge:
P ist ein beliebiger Punkt des Ellipsoids
2 x^2 + 5 y^2 + 10 z^2 = 10 a ^ 2.
Die Flächennormalen n in P schneidet die (x,y)-Ebene
im Punkt Q.
Die Tangentialebene in P schneidet die (x,y)-Ebene
in der Geraden s.
Beweise:
wenn Q auf der Hyperbel x y = a^2, (z = 0) ,
liegt, so berührt s diese Hyperbel.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 724
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 16:46: |
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Hi megamath,
ich versuch es mal:
Sei P(x1|y1|z1)
Die Flächennormale steht senkrecht auf der Fläche hat also grad[F(P)] als Richtungsvektor:
n: x=(x1 , y1 , z1)+r*(4x1 , 10y1 , 20z1)
Schnitt mit der xy-Ebene -> z=0 ==> r=-1/20
==> Q((4/5)x1 , (1/2)y1 , 0)
Eine Tangentialebene an das Ellipsoid im Punkt P lautet:
E: 2x1x+5y1y+10z1z=10a²
die Schnittgerade mit der xy-Ebene (z=0) lautet:
s: 2x1x+5y1y=10a²
Liegt Q nun auf der Hyperbel so gilt: 2x1y1=5a²
Soll s nun die Hyperbel berühren, sie soll also Tangente sein, so darf nur ein Schnittpunkt existieren, d.h. die Diskrimante der Quadratischen Gleichung von Hyperbel und Gerade muss 0 sein, man erhält nach kurzer Rechnung:
s ist Tangente wenn gilt 2x1y1=5a² q.e.d.
Ich hoffe man kann den Beweis so führen!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2085
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 19:27: |
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Hi Ferdi,
Dein Beweis ist einwandfrei !
Bravo!
MfG
H.R.Moser,megamath |
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