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elsa (elsa13)
Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Mai, 2003 - 06:33: | 
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Eine Maturaaufgabe vor mehr als 100 Jahren:
Um die beiden Brennpunkte F1 und F2 der durch x^2-y^2=8 gegebenen Hyperbel
sind Kreise beschrieben, welche die Asymptoten der Hyperbel berühren.
Die vier Berührungspunkte gehören einer Ellipse an,
welche die x-Achse in den Brennpunkten der Hyperbel schneidet.
Wie lauten die Gleichungen der Kreise und der Ellipse und
wie verhält sich der Flächeninhalt der Ellipse zur Summe der beiden Kreisflächeninhalte?
Vielleicht etwas zum Üben für die Maturanten von 2003!?
Liebe Grüße
elsa
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2078
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Mai, 2003 - 08:19: |
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Hi elsa,
Diese Maturaufgabe gehört zur leichteren Sorte
der damaligen Zeit, allerdings sind, und das ist typisch,
gute Grundkenntnisse über die Kegelschnitte erforderlich,
wenn sich ein Erfolg einstellen soll.
Gegebenenfalls geht´s rasch:
Halbachsen der Hyperbel a = b = sqrt(8) =2 sqrt(2)
Daraus lineare Exzentrizität e = 4; Brennpunkte
F1(4/0),F2(-4/0)
Asymptoten y = x und y = - x
Radien der Kreise je r = 2 sqrt(2)
Berührungspunkte: P(2/2) und drei durch Spiegelungen
an den Koordinatenachsen und an O gewonnene Punkte.
Kreisgleichungen:
(x-4)^2+y^2 = 8 und (x+4)^2+y^2 = 8
Flächen beider Kreise Ao = 2 * Pi * 8 = 16 Pi
Ellipse
b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 mit a = OF1 = 4
muss durch P(2/2) auf der Asymptote y = x gehen.
Daraus rechnen wir b^2 = 16 / 3, also
b = 4/3*sqrt(3)
Fläche der Ellipse:
A*= Pi * a * b = 16/3 sqrt(3) * Pi
Quotient Q = A*/Ao =1/3* sqrt(3)
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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