| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2077
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 06:13: | 
|
Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer IV der lockeren Folge:
Man lege durch die Schnittgerade der beiden Ebenen
3 x + 2 y - 12 = 0 und 2 y + 5 z – 12 = 0 die beiden
Tangentialebenen an das Ellipsoid
3 x^2 + 4 y ^2 + 5 z ^2 = 48 .
Welches sind die Koordinaten der Berührungspunkte?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser.megamath
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 720
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Mai, 2003 - 21:22: |
|
Hi megamath,
frisch aus dem Urlaub habe ich gesehen, das niemand diese Aufgabe bearbeitet hat! Leider ist es mir bis jetzt auch noch nicht gelungen, was wohl an meiner mangelnden Geometrieerfahrung liegt!
Ich habe bis jetzt nur die Gleichung der Schnittgerden berechnen können, sie lautet:
x=10r , y=6-15r , z=6r
Mein Freund der Gradient führte mich nicht zum Ziel, hier grad(F)={6x , 8y , 10z}. Auch eine Methode von dir mit Ebenenbüscheln führte nicht zum Erfolg, diese funktioniert nur bei Kugeln... Oder muss man hier mit Polaren arbeiten? Liege ich richtig mit der Annahme, dass die Tangetialebenen die Schnittgerade enthalten?
Kannst du ein paar Tipps geben, wie man dieses Rätsel löst?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2079
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Mai, 2003 - 08:02: |
|
Hi Ferdi
Ich gebe Dir Lösungshinweise:
Die Aufgabe kann mit der Methode der Ebenenbüschel
sehr wohl gelöst werden.
Beachte:
Eine allgemeine Tangentialebene des Ellipsoids mit
P1(x1/y1/z1) als Berührungspunkt lautet:
3 x1 x + 4 y1 y + 5 z 1 z - 48 = 0 (Polarisation)
Benütze sodann den Satz
2 Ebene fallen zusammen, wenn alle
Koeffizienten proportional sind.
Das gibt drei Gleichungen
Die vierte lautet, da P1 auf dem Ellipsoid liegt:
3 x1^2 + 4 y1 ^2 + 5 z1 ^2 = 48 .
Es gibt zwei Lösungsquadrupel für die
Unbekanten x1,y1,z1 und den Parameter t
in der Gleichung des Ebenenbüschels.
Viel Erfolg!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 721
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Mai, 2003 - 21:10: |
|
Hi megamath,
besten Dank für deine Tipps . Ich glaube das Rätsel jetzt endlich gelöst zu haben!
Die Tangetialebene E1: 9x + 8y + 5z = 48 mit Berührpunkt B(3|2|1) (Büschelparameter : 1/3)
Die Tangentialebene E2: 3x + 4y + 5z = 24 mit Berührpunkt B(2|2|2) (Büschelparamter : 1)
Aber ich muss auch zugeben, das diese Rechung sehr umfangreich war und sich immer kleine, aber hartnäckige Rechenfehler eingeschlichen haben! Kannst du deine Lösungsmethode auch kurz skitzzieren, oder ist sie diesslebe?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2081
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 10:13: |
|
Hi Ferdi,
ich schreibe das Resultat an und skizziere meinen
Lösungsweg; Beides stimmt mit Deinen Resultaten
überein.
Resultat:
Gleichungen der Tangentialebenen
T1:
9 x + 8 y + 5 z = 48, Berührungspunkt B1(3/2/1)
T2:
3 x + 4 y + 5 z = 24, Berührungspunkt B2(/2/2)
Lösungsweg:
Eine Gleichung aller Ebenen, welche durch die
Schnittgerade s der Ebenen
3 x + 2 y - 12 = 0 und 2 y + 5 z – 12 = 0
gehen, lautet:
3 x + 2 y - 12 + t * (2 y + 5 z – 12) = 0
mit t als Parameter.
Ordne diese Gleichung und bringe sie auf die Form
Ax + By + Cz + D = 0……………………………………………(1)
A = 3,B=2+2t,C=5t ,D=-12-12t
Eine allgemeine Tangentialebene des Ellipsoids mit
P1(x1/y1/z1) als Berührungspunkt lautet:
3 x1 x + 4 y1 y + 5 z 1 z - 48 = 0……………………..(2)
Die Ebenen (1) und (2) fallen zusammen, wenn
alle Koeffizienten proportional sind.
Das gibt drei Gleichungen, in denen x1, y1 , z1 und
t auftreten, nämlich
3/(3x1) = (2+2t) / (4y1) = 5t /(5z1) = (-12 -12t)/(-48)
Drücke x1, y1, z1 je durch t aus, und setze die Werte in
die Gleichung
3 x1^2 + 4 y1 ^2 + 5 z1 ^2 = 48,welche aussagt,
dass P1 auf dem Ellipsoid liegt
Es entsteht eine quadratische Gleichung in t.
So kommt man zu den zwei Lösungstripeln,
die oben angegeben sind.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
|
|
