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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2068
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 07:17: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nr.2 der lockeren Folge!
Die Aufgabe schliesst sich an eine Frage bezüglich der Schar
aller Transversalen dreier windschiefer Geraden an, die
kürzlich in diesem Forum gestellt und beantwortet wurde.
Die Schar ist eine zweiparametrige Geradenschar, die
mittels der Parameter h und t so geschrieben wird:
x = - (1+h) t ; y = - h t ; z = h + h ( 1 + h) t
Die Geradenschar erzeugt ein
einschaliges Rotationshyperboloid.
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Die LF II –Aufgabe lautet:
a)
Ermittle eine parameterfreie Gleichung dieser Fläche.
b)
Welches sind die Koordinaten des Mittelpunktes M der
Fläche
Wie lautet die Gleichung der Fläche in einem parallel
verschobenen (X,Y,Z)-System mit M als neuem
Nullpunkt?
c)
Welches ist die Rotationsachse?
d)
Welches ist der Radius des Kehlkreises, d.h. des kleinsten
Parallelkreises?
e)
Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt
(1/2/?) der Fläche?
Viel Vergnügen bei der Lösung
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 708
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 11:57: |
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Hi,
Nach 2 Tagen Arbeit im Garten ist diese Aufgabe eine schöne Entspannung!
Eliminiert man die beiden Parameter aus den drei Gleichungen erhält man die Koordinatengleichung der Fläche:
z=(y-xy)/(x-y)
bzw.
y-xy-xz+yz=0
Sollte diese Ergebniss stimmen folgt der Rest später. Und eine Frage: Was versteht man unter "Kehlkreis" bzw. Parallelkreis? Diese Begriffe sind mir neu...
mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2069
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 13:29: |
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Hi Ferdi
Motto:
cultiver le jardin………….(Voltaire)
Du kannst weiterfahren; die Gleichung ist i.O.
Zum Begriff „Kehlkreis“:
Die (reellen) ebenen Schnitte einer Rotationsfläche
senkrecht zur Rotationsachse sind Kreise.
Diese Kreise werden (in der Darstellenden Geometrie z.B.)
Parallelkreise genannt.
Der Parallelkreis mit dem kleinsten Durchmesser
wird, besonders bei den einschaligen Hyperboloiden
(nicht …boliden) aus einem nahe liegenden Grund
Kehlkreis genannt.
Weitern Erfolg wünscht Dir
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 684
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 14:29: |
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Hi Megamath,
die Gleichung habe ich auch rasu, war mir nur unsicher ob sie richtig ist.
In meinen Unterlagen ist nämlich folgende Gleichung für einschalige Hyperboloide zu finden:
(x²/a²)+(y²/b²)-(z²/c²)=1
Im Fall a=b liegt nun ein einschaliger Rotationshyperboloid vor.
Ich war iritiert, weil in Ferdis und in meiner ausgerechneten Gleichung keine quadratischen Terme vorkommen. Wie ist der Sachverhalt zu erklären?
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 711
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 14:55: |
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So Aufgabe e) hab ich auch mal erledigt, sogar gleich mal auf zwei Arten:
Tangentialebene im Punkt P (1|2|0)
1) Gradient!
F(x,y,z)=y-xy-xz+yz=0
grad[F(x,y,z)]={(-y-z) , (1-x-z) , (-x+y)}
==>grad[F(P)]={-2,0,1)
==> Tangentialebene E: -2x+z=-2
2) Polarisation!
Die polarisierte Gleichung sieht so aus:
0,5(y+y1)-0,5(x1y+xy1)-0,5(x1z+xz1)-0,5(y1z+yz1)=0
Jetzt einfach für x1=1, y1=2, z1=0
==> E: -2x+z=-2
mfg
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 712
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 14:59: |
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Hi Niels,
die quadratischen Terme tauchen erst nach einer Hauptachsentransformation auf! Ich bin grad am rechnen, das bezieht sich dann auf Teilaufgabe b)!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 713
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 15:32: |
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So nach längerer Rechung behaupte ich jetzt mal:
Der Mittelpunkt ist M (1|1|-1)
die Gleichung lautet dann:
0,5*X²+0,5*Y²-Z²=1
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 685
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 17:02: |
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Hi Ferdi,
stimmt, du hast recht.
Ich sollte mich doch vielmehr mit Vektoranalysis beschäftigen!
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 714
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 23:01: |
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Hi,
so zu später Stunde werfe ich als Rotationsachse jetzt mal die Gerade vect[x]=t*(1,-1,-1) in den Raum.
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2072
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 07:15: |
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Hi Ferdi
Meine Ergebnisse zu
LF II
Wenn ich grad(F) null setze, erhalte ich für den
Mittelpunkt die folgenden Koordinaten :
xM = ½ , yM = ½ , zM = - ½
Als Richtungsvektor der Achse dient der Vektor
v = {-1;1;1}.
Ich gewinne ihn als Eigenvektor zum Eigenwert
L1 = -1 der quadratischen Form
Q(x,y,z) = x y + x z – y z
Die beiden andern Eigenwerte sind
L2 = ½, L3 = ½
Die Tatsache, dass die charakteristische Gleichung
- L^3 + ¾ L – ¼ = 0 eine Doppellösung hat,
weist darauf hin, dass eine Rotationsfläche vorliegt.
Nach einer Parallelverschiebung mit M als neuem
Nullpunkt und den Transformationsgleichungen
x = X + ½, y = Y + ½ , z = Z – ½
lautet die Gleichung:
X Y + X Z – Y Z = ¼.
Lineare Terme in X,Y,Z treten nicht auf.
Mit Hilfe der Eigenwerte kann die Gleichung
in einem Hauptachsensystem (U,V W) so geschrieben
werden:
½ U^2 + ½ V^2- W^2 = ¼
oder
2 U^2 + 2 V^2 - 4 W^2 = 1
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Hier kann der Radius des Kehlkreises abgelesen werden:
R = ½ sqrt(2)
Uebereinstimmunng in der Gleichung der
Tangentialebene in P(1/2/0); sie lautet:
2 x – z = 2
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.,Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 717
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 12:04: |
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Hi,
besten Danke für deine Ergebnisse. Da hat sich bei mir gleich am Anfang ein fataler Rechenfehler eingeschlichen, man sieht es schon bei meiner Angabe des Gradienten...
Eine Frage hab ich noch:
Erhält man den Mittelpunkt der Fläche, so er existiere, auch noch auf eine andere Möglichkeit als nullsetzen des Gradienten? Ich meine es gibt doch immer mehrere Möglichkeiten in der Mathematik
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2076
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 17:13: |
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Hi Ferdi,
Eine ergänzende Mitteilung betreffend des
Mittelpunktes einer Fläche zweiter Ordnung.
Es gilt der Satz:
Wenn die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung
mit dem Punkt M als Nullpunkt frei von linearen
Gliedern ist, so ist M ein Mittelpunkt der Fläche und
umgekehrt.
Hat der Punkt M die Koordinaten M(a/b/c) und soll
er dahingehend untersucht werden, ob er als
Mittelpunkt in Frage kommt, verschieben wir das alte
System parallel und wählen durch die
Transformationsgleichungen
x = X + a, y = Y + b , z = Z + c
M als Nullpunkt eines neuen (X,Y,Z) – Systems.
Wenn dann die Transformation rechnerisch durchgeführt ist
realisieren wir die Forderung, dass die linearen Terme in X,Y,Z
null sind.
Das liefert uns drei Gleichungen zur Ermittlung der
(allenfalls existierenden) Mittelpunktes.
Die Fläche besitzt genau dann einen Mittelpunkt,
wenn dieses System lösbar ist.
Es handelt sich übrigens um dasselbe System,
das mit Hilfe des Gradienten gewonnen wird.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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