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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2063
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 10:13: | 
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Hi allerseits,
Als Pendant zur Maturaufgabe vor mehr als 100 Jahren,
die uns Elsa präsentiert hat, möchte ich eine Aufgabe mit noch
mehr Jahrringen vorführen; sie stammt aus dem Jahr 1886
und handelt auch von Stereometrie.
Die Aufgabe im Wortlaut:
In einem geraden Kegelstumpf, dessen Grundflächenradien
R und r gegeben sind, seien zwei ähnliche gerade Kegel so
konstruiert, dass die Grundflächen derselben bezw. mit den
Grundflächen des Kegelstumpfs zusammenfallen und dass
sie eine gemeinschaftliche, in der Axe des Kegelstumpfs
liegende Spitze haben.
In welchem Verhältnis steht das Volumen des Kegelstumpfs
zur Summe der Volumina beider Kegel?
Viel Vergnügen beim Lösen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 492
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 10:44: |
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der Kegelstumpf habe als Höhe H
o.B.d.A: r < R
R : h = r : ( H - h )
r * h = R * H - R * h
(R + r) * h = R * H
h = R * H / (R + r)
fstumpf(x) = (R - r)/H * x + r
Vstumpf = (R^2 + r*R + r^2) * H * pi/3
Kegel1: R, r * H / (R + r) Þ V1 = R^2*r*H/(r + R) * pi/3
Kegel2: r, R * H / (R + r) Þ V2 = r^2*R*H/(r + R) * pi/3
VKegel = V1 + V2 = R*r*H * pi/3
interessant diese Aufgabe
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Martin (specage)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 11:45: |
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Also hier muss ich passen. Kann mir weder die Aufgabenstellung vorstellen, noch kann ich mit der Lösung was anfangen bzw. kann die Lösung nicht mit der Aufgabe in Zusammenhang bringen. Mir fehlen da einige Bezeichnungen von den Symbolen.
Kann jemand vielleicht die Aufgabe skizzieren und hier rein stellen?
Wieso ist die Höhe der beiden Kegel r*H/(r+R) bzw. R*H/(r+R)?
Wie gesagt, mir fehlt einzig die Vorstellung, wie das Ganze bildlich aussieht.
Und was gibt f_stumpf an?
Warum gilt die erste Verhältnisgleichung? Ich seh da n Problem, wenn h=0 ist.
mfg specage |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 493
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 13:17: |
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Zitat: "zwei ähnliche gerade Kegel" <-- deswegen ist h = 0 unmöglich, und darum muß die Verhältnisgleichung gelten
fstumpf(x) => Vstumpf = pi * INT [ 0; H ] fstumpf2(x) dx
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2064
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 14:32: |
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Hi ,
Bevor Wildwuchs entsteht, möchte ich eine
korrekte Lösung der Aufgabe vorstellen.
Das Resultat sei vorweggenommen:
Der gesuchte Quotient Q der Volumina
Stumpfvolumen / Summe der Kegelvolumina
Beträgt:
Q = [R^2 + R r + r ^2] / [R^2 - R r + r ^2];
ein wahrhaft schönes Resultat.
Einige Eselsleitern (pontes asinorum):
Es liegt ein Rotationskegelstumpf vor.
Der Grundkreis (Mittelpunkt M1) habe den Radius R,
der Deckkreis (Mittelpunkt M2) den Radius r.
Die Verbindungsgerade a der Punkte M1 M2 steht auf den
Kreisebenen je senkrecht und ist die Rotationsachse;
die Länge der Strecke M1M2 ist die
Höhe h des Stumpfs ; sie fällt bei der vorliegende Aufgabe
allerdings aus Abschied und Traktanden.
Auf der Strecke M1 M2, in wohlbestimmtem Abstand
x von M1 liegt die gemeinsame Spitze S der beiden
eingebauten Kegel; der Abstand S M2 sei mit y bezeichnet.
Dann ist x + y = h , wie man sofort bemerkt.
Für den Kegel K1 ist der Grundkreis des Stumpfs zugleich
Grundflächenkreis.
Für den zweiten Kegel, der Kopf steht, ist der Deckkreis
des Stumpfs der Grundflächenkreis.
Der Begriff der Aehnlichkeit zweier Rotationskegel soll
sofort in die Tat umgesetzt werden.
Es wird gefordert, dass die beiden Oeffnungswinkel der
Kegel gleich sind.
Wir berechnen die Tangenswerte der beiden (halben)
Oeffnungswinkel, und wir erhalten die Beziehung
R / x = r / y ; das ist offenbar die pièce de résistance der
ganzen Aufgabe.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 494
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 14:57: |
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hm,
R / x = r / y
x + y = h Þ x = h - y
R / (h - y) = r / y
r * (h - y) = R * y
r * h - r * y = R * y
r * h = r * y + R * y
r * h = y * (R + r)
y = r * h / (R + r)
x = h - y
x = h - r * h / (R + r)
x = h * [ 1 - r / (R + r) ]
x = h * [ (R + r) / (R + r) - r / (R + r) ]
x = R * h / (R + r)
tja, so kanns passieren hab die radien vertauscht 
da bekommt man (R^3 + r^3)/(R + r) * pi * h/3 als Summe der beiden Kegelvolumina und des gekürzt ergibt dann (R^2 - R*r + r^2) * h * pi/3
Wär ja zu schön gewesen
Das Verhältnis läßt sich auch so schreiben
(R^3 - r^3)(R + r)
------------------
(R^3 + r^3)(R - r)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2065
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 15:13: |
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Hi allerseits
Nun vergleichen wir die Volumina
der Körper.
V sei das Volumen des Stumpfs,
U1 das Volumen von Kegel 1
U2 das Volumen von Kegel 2
U = U1+U2
Q = V / U
Es kommt:
V = Pi (x+y) / 3 * [R^2 + R r + r ^2]
U1 = Pi * R^2 * x / 3
U2 = Pi * r^2 * y / 3,
Ferner gilt wegen der Aehnlichkeit der beiden
Rotationskegel:
y = r x / R
Setzt man das in Q = V / (U1 + U2) ein, so kürzt sich
x weg und es verbleibt:
Q = (R+r) / (R^3 + r^3) * [ R^2 + R r + r^2 ]
Wir sehen sofort, dass sich auch R+r wegkürzen
lässt; es verbleibt:
Q = [R^2 + R r + r ^2] / [R^2 - R r + r ^2].
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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