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elsa (elsa13)
Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 04:41: | 
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Für Ferdi oder auch andere Interessierte  :
Welches regelmäßige, einem Kreis vom Radius r = 1 eingeschriebene
n-Eck von gerader Seitenanzahl erzeugt durch Drehung um eine Winkelsymmetrale einen Rotationskörper vom Volumen V = 3,5754?
liebe Grüße
elsa |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2054
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 09:29: |
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Hi allerseits
Ich stelle ,wie bei mir usus, eine Gegenfrage:
Welches ist der exakte Wert des Volumen V*
des Körpers,der durch Rotation der genannten Art entsteht,
wenn ein reguläres Hexagon zur
freien Verfügung steht?
Frohe THAT wünscht
H.R.Moser,megamath.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 703
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 12:52: |
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Jaja,
das ist wirklich eine schöne Aufgabe, ich zerbreche mir jetzt auch schon Stunden lang den Kopf daran, leider fehlt mir auch ein wenig das geometrische Grundwissen, darauf wird heutzutage wohl nicht mehr soviel Wert gelegt wie damals  . Der Themenbereich "n-Ecke" ist völlig neu für mich. Bin mal gespannt ob jemand anders das gelöst bekommt.
Vielleicht könnt ihr mir ja mal ein gutes Geometriebuch empfehlen, ich muss da wohl einiges nacharbeiten...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2057
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 14:26: |
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Hi
Ich habe mich mental ganz in jenes Zeitalter
vor hundert Jahren zurückversetzt………..
(Albert Einstein ist in Bern auf dem Patentamt
mit seiner speziellen Relativitätstheorie beschäftigt).
Eine Ausstrahlung ist physisch spürbar….
Aus dieser Mentalität heraus ist es nicht schwierig,
eine Maturaufgabe aus jener Zeit zu lösen.
Das Resultat der von Elsa präsentierten Aufgabe ist
folgendes:
Es kommt das reguläre Achteck in Frage!*
Für den Umkreisradius 1 gilt für das Volumen V:
V= Pi/3*[2+sqrt(2)] ~ 3,5753560
Bravo!
Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser, megamath
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elsa (elsa13)
Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 18:13: |
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@megamath:
Souverän gelöst, wie es nicht anders zu erwarten war!*
@Ferdi:
Gute Geometriebücher zu bekommen ist ein gewisses Problem!
Ich selbst habe einige ganz alte, da steht all das Interessante noch drin,
je neuer sie werden, desto mehr tritt die Geometrie zugunsten der Wahrscheinlichkeitsrechnung in den Hintergrund, leider!
Liebe Grüße
elsa
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2059
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 18:51: |
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Hi allerseits,
@:elsa: danke für die Blumen !*
Es könnte im Interesse unserer künftigen Maturanden
liegen, Lösungen, wie sie vor hundert Jahren
eingeübt wurden,aus heutiger Sicht nachzuvollziehen.
Ich werde zwei Lösungsmethoden vorführen.
Zuerst eine Bemerkung zur Fragestellung.
Sie kann verwirren, weil nach der Eckenzahl gefragt
Wird.
Es kommt die Assoziation auf, die Aufgabe sei
allgemein für ein 2n –Eck zu lösen
Dann wird ein Näherungswert präsentiert,
der wenig durchschaubar ist.
Der kluge Schüler, und solche hat es immer gegeben,
wird n = 2 sofort verwerfen.
Für n = 3 (reguläres Sechseck) findet er ein hübsches
Resultat: V = V* = Pi.
Er merkt, dass die Folge der V –Werte monoton wächst;
sie ist auch beschränkt und ist daher für n gegen unendlich
konvergent. Jedermann, der von Geometrie eine Ahnung hat,
kennt den Grenzwert der Folge.
Der ist aber nicht gefragt.
Der zitierte Schüler wird nun mit n = 4 fündig; er untersucht
welches Volumen V die Hälfte eines regulären Achtecks,
das einem Halbkreis vom Radius 1 einbeschrieben ist,
bei der Rotation um die Durchmessergerade erzeugt.
Wie V ermittelt werden kann, zeige ich in einer Fortsetzung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 706
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 18:52: |
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Ja, das hab ich ja am eigenen Leib erfahren... Ich meine Stochastik ist nicht schlecht, man kann auch seinen Spass dran haben, doch leider sind die gestellten Aufgaben meistens so abgehoben, naja...
Ich hab nämlich hier nur leider mein Schulgeometriebuch mit knapp 150 Seiten, aber daraus wird man leider auch nicht schlau, da sie die besten Sachen nicht abgedruckt haben...
Vielleicht finden sich ja in der Bücherei noch ein paar gute Bücher...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2060
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 08:17: |
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Hi allerseits,
Die Vorbereitung zur Lösung der Aufgabe taugt für
beide Methoden
Gegeben sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
die Punkte
A(1/0), B(½sqrt(2) / ½sqrt(2)),
C(0/1), D(- ½sqrt(2)) / ½sqrt(2)) , E(-1/0);
sie liegen auf dem Einheitskreis.
Das Fünfeck (ein halbes Achteck !) ABCDE rotiert
um die x-Achse und erzeugt einen Körper, dessen
Volumen V zu bestimmen ist
1.Methode
V setzt sich zusammen aus zwei Kegelvolumina
V1 = V2 und zwei Volumenteilen V3 = V4,
die von Kegelstümpfen her stammen.
Ein Kegelstumpf entsteht bei der Rotation des
Vierecks OCDF, wobei F( - ½sqrt(2) / 0) gilt,
um die x-Achse.
Berechnung von V1:
V1 = 1/3 Pi * r^2 * h ; r = ½ sqrt(2) ; h = 1 –½ sqrt(2)
= 1/3 Pi *1/2 * ( 2 – sqrt(2)) / 2 = Pi [2 – sqrt(2)] / 12
Berechnung von V3:
V3 = 1/3 Pi *H [R^2 + R r + r^2]; H = ½ sqrt(2) ; r wie oben,
R = 1.
Somit V3 = 1/3 Pi * ½ sqrt(2) [1 + ½ sqrt(2) + ½] =
Pi [3 * sqrt(2) + 2] / 12
Zusammengefasst:
V = 2 V1 +2 V3 = 1/3 Pi [ 2 + sqrt(2) ] ~ 3,575
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Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2061
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 09:01: |
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Hi allerseits,
In einer zweiten Methode kommt eine Guldinsche
Regel zum Zug.
Als Vorbereitung berechnen wir den Flächeninhalt
P (P wie Pentagon) des in meinem letzten Beitrag
eingeführten Fünfecks.
Wie man leicht feststellt, setzt sich dieser aus vier
gleichen Dreiecksflächen F1 = F2 = F3 = F4 = ¼ sqrt(2)
zusammen, sodass gilt:
P = sqrt(2)
Wir benötigen ferner für das Fünfeck ABCDE die
y-Koordinate eta des Schwerpunktes S; die x Koordinate
von S ist aus Symmetriegründen null und für unsere
Berechnung irrelevant.
Wir gehen von den Schwerpunkten S1, S2 der Dreiecke
0AB und OBC aus.
Die y-Koordinaten von S1 und S2 ermittelt man je
als arithmetische Mittel aus den y-Koordinaten der Ecken
O,A,B bzw. O, B, C; sie seien mit eta1, eta2 bezeichnet.
Wir erhalten:
eta1 = 1/6 sqrt(2) ; eta2 = 1/6 [2+sqrt(2)]
Da beide Dreiecke gleiche Fläche haben, erhalten wir
mit dem arithmetischen Mittel dieser eta-Werte, d.h.
mit 1/6 [1+sqrt(2) ] den y-Wert des Schwerpunktes
des Vierecks OABC.
Aus Symmetriegründen ist dieser Wert zugleich der
gesuchte y-Wert eta von S im Fünfecks ABCDE;
mithin:
eta =1/6 [1+sqrt(2) ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit Guldin erhalten wir nun sofort für das gesuchte
Volumen V:
V = 2*Pi * eta * P = Pi/3[1+sqrt(2) ] * sqrt(2) =
Also:
V = 1/3 Pi [ 2 + sqrt(2) ]
********************
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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