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Jezz (jezz)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 12:31: | 
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Ich habe ein Galtonbrett mit 5 Fächern (0-4). Warum nehme ich zum Beispiel bei der Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in das Fach 0 fällt, mit (4 über 4) mal? Und warum bei Fach 2 mit (4 über 2)?
Vielen Dank im voraus. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2032
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 17:56: |
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Hi,
Grundlage für das Verständnis des Phänomens mit
dem Galtonbrett ist die Formel für die Berechnung
der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung von
Jakob Bernoulli.
Wenn wir den Binomialkoeffizienten „n über k“ (n tief k)
Mit c(n,k) bezeichnen, so lautet die genannte Formel so
B(n,p;k) = c(n,k)* p^k * (1-p)^(n-k)
Dabei bedeuten
n : Anzahl der Versuche (Länge der Bernoullikette)
p : Trefferwahrscheinlichkeit
k : Anzahl Treffer; 0 < = k < = n
mit B(n,p;k) berechnen wir die Wahrscheinlichkeit,
bei n Versuchen, deren Trefferwahrscheinlichkeit je p ist,
genau k Treffer zu erzielen..
Beim Galton Brett ist p = ½, da das Brett so konstruiert ist,
dass die Kugeln jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ½ links
oder rechts am Hindernis, den Slalomstangen, vorbeigehen.
a) wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel
in dem äussersten linken Fach landet.
b) mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt eine Kugel in das
mittlere Fach ?
Sei n = 12 (13 Fächer, k = 0 bis und mit 12 )
Lösung:
a)B(12,½ ; 0) = c(12, 0) * (½ ) ^ 0 * ( ½) ^12 =
1/4096 ~ 0,000244
b)B(12,½; 6) = c(12, 6) * (½ ) ^ 6 * ( ½) ^6 =
924/4096 ~ 0,2256
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Jezz (jezz)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 09:59: |
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Danke! Bernoulli habe ich soweit verstanden, es ging mir nur darum, warum man in meinem Beispiel für das Fach 0 (4 über 4) rechnet..
Sehe ich das also richtig, dass ich bei 11 Fächern für das Fach 0 (11 über 0), für das Fach 1 (11 über 1), für das Fach 2 (11 über 2), usw. Möglichkeiten habe? Aber warum ist das gerade so? |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2042
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 15:40: |
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Hi,
Es folgen ein paar Ergänzungen zum Begriff
des Galton Brettes ;es wird benannt nach dem
englischen Arzt und Naturforcsher Francis Galton
(1822-1911), welcher das Brett für die Untersuchung
von Fragen der Vererbung und
Bevölkerungsentwicklug heranzog.
Die Nägel sind so angeordnet, dass die Senkrechte von einem
oberen Nagel auf die Reihen den Abstand der beiden Nägel
in der nächsten (unteren) Reihe gerade halbiert.
Damit fallen die Kugeln mit der Wahrscheinlichkeit p = ½
links oder rechts am Hindernis vorbei.
Eine Kugel landet im Fach null, wenn bei diesen n Versuchen
(n ist zugleich die Anzahl der Reihen)
alle Ablenkungen nach links erfolgen (Trefferzahlhl k = 0);
sie landet im Fach 1, wenn n -1 Ablenkungen nach links
und eine nach rechts erfolgen, Trefferzahl 1,
sie landet im Fach 2, wenn n -2 Ablenkungen nach links
und zwei nach rechts erfolgen,Trefferzahl2
Die Wahrscheinlichkeit, dass Letzteres zutrifft,
ist (n Versuche, k = 2 Treffer):
B(n, ½ ; 2) = c(n,2) * (½)^2* ½^ (n-2)
usw.
Bei Deinem Statement hast Du die Potenzen von p= ½
nicht berücksichtigt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Jezz (jezz)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 17:14: |
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Danke! |
Patrick G. (patrick_g)
Mitglied
Benutzername: patrick_g
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 21:44: |
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bei 4 über 0 kommt ja das gleiche wie bei 4 über 4! ISt doch logisch! ALso ist die Wahrscheinlichkeit gleich, das bei beiden Löschern gleich viel Kugeln fallen!! Aber das heißt auch ncith, dass die gefallenen Kugeln gleich verteilt sind!! mögliche Ereignisse: 2 hoch 4, günstige Ereignisse: bei Loch 0 = 4 über 0, also allgemeine FOrmel lautet: n über k /durch 2 hoch n! Erwartungenen bei 100 Kugeln, einfach bei Loch 0 : 4 über 0 mal 100 rechnen und das bei jeden!! Wenn man das Prinzip einmal gecheckt hat, dann ist es total easy!!! |
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