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Baryzentrische Koordinaten

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 11. Juni 2003 Archiviert bis Seite 8 » Baryzentrische Koordinaten « Zurück Vor »

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elsa (elsa13)
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Mitglied
Benutzername: elsa13

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:00:   Beitrag drucken

In Vertretung für zahlreiche (!) Interessenten stelle ich hier die Frage:

Wie kann rechnerisch festgestellt werden, ob ein gegebener Punkt P im Innern eines gegebenen Dreiecks ABC liegt oder nicht?

und erhoffe eine profunde Antwort von megamath!*

liebe Grüße
elsa
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Klaus (kläusle)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 433
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:36:   Beitrag drucken

Hi

Ich bin zwar nicht megamath, aber das ist eigentlich ganz einfach:

Folgendes:
Man wählt 1 Punkt des Dreiecks und gibt dann die 2 Vektoren zu den anderen Punkten ausgehend vom erstgewählten Dreickspunkt des Dreiecks an. Oder eben ganz einfach: Man bestimmt die Ebene durch die drei Dreieckspunkte.
Diese Ebene sei
x = Vektor OA + r*(Vektor OB - Vektor OA) + s*(Vektor OC - Vektor OA). Vektor

Nun zur Überprüfung, ob der Punkt im Dreieck liegt:
Er liegt genau dann im Dreick, wenn für r und s gilt:
0 < r < 1
0 < s < 1
Das wars schon



(Beitrag nachträglich am 30., April. 2003 von Kläusle editiert)
MfG Klaus
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 650
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:50:   Beitrag drucken

Hi Klaus,

das tut er eben nicht! Ich war einer der "zahlreichen" den dieses Thema am Wochenende beschäftigte !

Schau dir mal unseren Thread an:

http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/me ssages/9308/312119.html?1051355687

mfg
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elsa (elsa13)
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Mitglied
Benutzername: elsa13

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:50:   Beitrag drucken

...so hatte ich auch einmal gedacht,
aber es ist eben nicht so einfach!

elsa
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2026
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:00:   Beitrag drucken

Hi elsa,

Im Sinne eines Versuchs will ich gerne Dein
Problem angehen, rechnerisch festzustellen, ob ein
gegebener Punkt P im Innern eines gegebenen
Dreiecks ABC liegt oder nicht.

Zunächst soll die Aufgabe in der Ebene gelöst
werden.
Die Koordinaten der Punkte sind vorgegebene
Werte, dazu ein numerisches Beispiel:

Die Ecken des Dreiecks sind: A(0/0), B(6/0),C(4/4).
welchen Bedingungen müssen die Koordinaten u ,v
des Punktes P genügen, damit P(u/v) im Innern
des Dreiecks ABC liegt?

Die nach meiner Ansicht sicherste und auch
eleganteste Methode zur Lösung des Problems besteht
in der Verwendung der so genannten baryzentrischen
Koordinaten von P bezüglich der Ecken A,B,C.

Dazu ein wenig Theorie.
Ein Punkt P der Ebene besitzt drei baryzentrische
Koordinaten; sie seien mit a, b, c bezeichnet.
Für die Ortsvektoren
u = OA, v = OB, w = OC und r = OP muss gelten:

a * u + b * v + c * w = r und
a + b + c = 1 (Normierung)

Beachte: a,b,c sind zu bestimmende Skalare,die
baryzentrischen Koordinaten von P, und u,v,w,r
sind Vektoren des R2.


Der Sinn der Sache ist :

Die baryzentrischen Koordinaten heißen auch
Schwerpunktskoordinaten aus folgendem Grund:
Werden nämlich Massen a, b , c mit der Summe 1
(Gesamtmasse) der Reihe nach in den Punkten
A,B,C platziert, dann ist P der Schwerpunkt des
Systems.

Es gilt der bemerkenswerte Satz.
P liegt genau dann im Innern des Dreiecks, wenn
alle drei baryzentrischen Koordinaten von P positiv
sind.

Berechnung der baryzentrischen Koordinaten
Wenn xA,yA,xB,yB,xC,yC,xP,yP die kartesischen
Koordinaten
der Punkte A, B , C , P sind, so erhält man die
baryzentrischen Koordinaten aus dem linearen
Gleichungssystem

xA* a + xB* b + xC * c = xP
yA* a + yB* b + yC * c = yP
a + b + c = 1

Empfehlung: Auflösung des Systems nach Cramer.

Für unser Zahlenbeispiel gilt

0 * a + 6 * b + 4 * c = u
0 * a + 0* b + 4 * c = v
a + b + c = 1
Lösung:
a = 1 – u/12 – v/4
b = 1/6 u – 1/6 v
c = 1/ 24 v
P liegt im innern des Dreiecks, wenn simultan gilt:
a = 1 – u/6 – v/12 > 0
b = 1/6 u – 1/6 v > 0
c = 1/ 24 v > 0
vereinfacht:
2 u + v < 12 , u – v > 0 , v > 0
Anmerkung:
setzt man in den Ungleichungen überall das Gleichheitszeichen,
so erhält man gerade die Gleichungen der Dreiecksseiten.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath







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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2027
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:04:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Es ist mir bei der zitierten Lösung tatsächlich ein
Fehlschluss unterlaufen.
Wir Beide, elsa und ich, sind der Sache nachgegangen
und haben festgestellt:

Der Punkt F liegt ausserhalb des Dreiecks ABC.
Das Kriterium, das damals zur Anwendung gelangte,
ist nicht ausreichend. Diese Tatsache führte zu
einem Fehlschluss.

Korrektur:
Man muss auch die Punkte B und C als
Anfangspunkte wählen, nicht nur A allein.
Wählt man B und führt die
Vektoren m = BA = {-2;-4;-2} und
n= BC = {2;0;6} ein, so erscheint der
Vektor BF = g ={2;1;5} als folgende
Linearkombination aus m und n :
g = - ¼ m + ¾ n.
Das negative Vorzeichen deutet darauf hin,
dass F ausserhalb des Dreiecks ABC liegt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2028
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:10:   Beitrag drucken




In einer Fortsetzung zeige ich Dir,
wie man ganz anders vorgehen kann.

Mythos schlägt vor, die Konfiguration
auf die (x,y)- Ebene zu projizieren .
Indem wir überall die z-Koordinate null setzen,
kommen wir auf die Punkte
A(1/1),B(3/5),C(5/5) ,P(5/6),wobei P die Rolle von
F übernimmt.
Wir zeigen:
P liegt ausserhalb des Dreiecks ABC.
Das ist schon zeichnerisch evident.
Der rechnerische Nachweis gelingt am besten
mit Hilfe der baryzentrischen Koordinaten
a,b,c des Punktes P bezüglich der Ecken des
Dreiecks ABC.

Dazu ein wenig Theorie:
Ein Punkt P der Ebene besitzt drei baryzentrische Koordinaten;
sie seien mit a, b, c bezeichnet.
Für die Ortsvektoren u = OA, v = OB, w = OC und r = OP

muss gelten:

a * u + b * v + c * w = r und a + b + c = 1 (Normierung)

Beachte: a, b, c sind zu bestimmende Skalare,
die baryzentrischen Koordinaten von P,
und u, v, w, r sind Vektoren des R2.

Der Sinn der Sache ist:
Die baryzentrischen Koordinaten heißen auch
Schwerpunktskoordinaten, aus folgendem Grund:
Werden nämlich Massen a, b, c mit der Summe 1 (Gesamtmasse)
der Reihe nach in den Punkten A, B, C platziert, dann ist P der
Schwerpunkt des Systems.

Es gilt der bemerkenswerte Satz:
P liegt genau dann im Innern des Dreiecks,
wenn alle drei baryzentrischen Koordinaten von P positiv sind.

Berechnung der baryzentrischen Koordinaten:
Wenn xA, yA, xB, yB,xC, yC, xP, yP die kartesischen Koordinaten
der Punkte A, B, C, P sind,
so erhält man die baryzentrischen Koordinaten aus dem linearen
Gleichungssystem

xA* a + xB* b + xC * c = xP
Fortsetzung folgt
yA* a + yB* b + yC * c = yP
a + b + c = 1

Empfehlung: Auflösung des Systems nach Cramer.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2029
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:13:   Beitrag drucken

Fortsetzunng

Für unser Zahlenbeispiel gilt nach einer Parallelverschiebung des Systems
mit A als Nullpunkt:A(0/0),B(2/4),C(4/4),P(4/5)


0 * a + 2 * b + 4 * c = 4
0 * a + 4* b + 4 * c = 5
a + b + c = 1

Lösung:
a = - ¼
b = ½
c = ¾

Quintessenz: P liegt ausserhalb des Dreiecks,da a negativ ist.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 653
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:47:   Beitrag drucken

@H.R. & Friends :-)

meinen besten Dank. Werde das morgen am Tag der Arbeit gleich mal nachrechnen und versuchen das zu verstehen.

mfg
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mythos2002 (mythos2002)
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Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 519
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Mai, 2003 - 00:41:   Beitrag drucken

Dazu noch ein interessanter Link (mit einer schönen JAVA - Animation):

http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/matdir/ba ry.htm

Gr
mYthos

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