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elsa (elsa13)
Mitglied Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 22 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:00: |
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In Vertretung für zahlreiche (!) Interessenten stelle ich hier die Frage: Wie kann rechnerisch festgestellt werden, ob ein gegebener Punkt P im Innern eines gegebenen Dreiecks ABC liegt oder nicht? und erhoffe eine profunde Antwort von megamath!* liebe Grüße elsa |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 433 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:36: |
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Hi Ich bin zwar nicht megamath, aber das ist eigentlich ganz einfach: Folgendes: Man wählt 1 Punkt des Dreiecks und gibt dann die 2 Vektoren zu den anderen Punkten ausgehend vom erstgewählten Dreickspunkt des Dreiecks an. Oder eben ganz einfach: Man bestimmt die Ebene durch die drei Dreieckspunkte. Diese Ebene sei x = Vektor OA + r*(Vektor OB - Vektor OA) + s*(Vektor OC - Vektor OA). Vektor Nun zur Überprüfung, ob der Punkt im Dreieck liegt: Er liegt genau dann im Dreick, wenn für r und s gilt: 0 < r < 1 0 < s < 1 Das wars schon (Beitrag nachträglich am 30., April. 2003 von Kläusle editiert) MfG Klaus
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 650 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:50: |
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Hi Klaus, das tut er eben nicht! Ich war einer der "zahlreichen" den dieses Thema am Wochenende beschäftigte ! Schau dir mal unseren Thread an: http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/me ssages/9308/312119.html?1051355687 mfg |
elsa (elsa13)
Mitglied Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 23 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:50: |
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...so hatte ich auch einmal gedacht, aber es ist eben nicht so einfach! elsa |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2026 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:00: |
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Hi elsa, Im Sinne eines Versuchs will ich gerne Dein Problem angehen, rechnerisch festzustellen, ob ein gegebener Punkt P im Innern eines gegebenen Dreiecks ABC liegt oder nicht. Zunächst soll die Aufgabe in der Ebene gelöst werden. Die Koordinaten der Punkte sind vorgegebene Werte, dazu ein numerisches Beispiel: Die Ecken des Dreiecks sind: A(0/0), B(6/0),C(4/4). welchen Bedingungen müssen die Koordinaten u ,v des Punktes P genügen, damit P(u/v) im Innern des Dreiecks ABC liegt? Die nach meiner Ansicht sicherste und auch eleganteste Methode zur Lösung des Problems besteht in der Verwendung der so genannten baryzentrischen Koordinaten von P bezüglich der Ecken A,B,C. Dazu ein wenig Theorie. Ein Punkt P der Ebene besitzt drei baryzentrische Koordinaten; sie seien mit a, b, c bezeichnet. Für die Ortsvektoren u = OA, v = OB, w = OC und r = OP muss gelten: a * u + b * v + c * w = r und a + b + c = 1 (Normierung) Beachte: a,b,c sind zu bestimmende Skalare,die baryzentrischen Koordinaten von P, und u,v,w,r sind Vektoren des R2. Der Sinn der Sache ist : Die baryzentrischen Koordinaten heißen auch Schwerpunktskoordinaten aus folgendem Grund: Werden nämlich Massen a, b , c mit der Summe 1 (Gesamtmasse) der Reihe nach in den Punkten A,B,C platziert, dann ist P der Schwerpunkt des Systems. Es gilt der bemerkenswerte Satz. P liegt genau dann im Innern des Dreiecks, wenn alle drei baryzentrischen Koordinaten von P positiv sind. Berechnung der baryzentrischen Koordinaten Wenn xA,yA,xB,yB,xC,yC,xP,yP die kartesischen Koordinaten der Punkte A, B , C , P sind, so erhält man die baryzentrischen Koordinaten aus dem linearen Gleichungssystem xA* a + xB* b + xC * c = xP yA* a + yB* b + yC * c = yP a + b + c = 1 Empfehlung: Auflösung des Systems nach Cramer. Für unser Zahlenbeispiel gilt 0 * a + 6 * b + 4 * c = u 0 * a + 0* b + 4 * c = v a + b + c = 1 Lösung: a = 1 – u/12 – v/4 b = 1/6 u – 1/6 v c = 1/ 24 v P liegt im innern des Dreiecks, wenn simultan gilt: a = 1 – u/6 – v/12 > 0 b = 1/6 u – 1/6 v > 0 c = 1/ 24 v > 0 vereinfacht: 2 u + v < 12 , u – v > 0 , v > 0 Anmerkung: setzt man in den Ungleichungen überall das Gleichheitszeichen, so erhält man gerade die Gleichungen der Dreiecksseiten. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2027 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:04: |
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Hi Ferdi, Es ist mir bei der zitierten Lösung tatsächlich ein Fehlschluss unterlaufen. Wir Beide, elsa und ich, sind der Sache nachgegangen und haben festgestellt: Der Punkt F liegt ausserhalb des Dreiecks ABC. Das Kriterium, das damals zur Anwendung gelangte, ist nicht ausreichend. Diese Tatsache führte zu einem Fehlschluss. Korrektur: Man muss auch die Punkte B und C als Anfangspunkte wählen, nicht nur A allein. Wählt man B und führt die Vektoren m = BA = {-2;-4;-2} und n= BC = {2;0;6} ein, so erscheint der Vektor BF = g ={2;1;5} als folgende Linearkombination aus m und n : g = - ¼ m + ¾ n. Das negative Vorzeichen deutet darauf hin, dass F ausserhalb des Dreiecks ABC liegt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2028 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:10: |
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In einer Fortsetzung zeige ich Dir, wie man ganz anders vorgehen kann. Mythos schlägt vor, die Konfiguration auf die (x,y)- Ebene zu projizieren . Indem wir überall die z-Koordinate null setzen, kommen wir auf die Punkte A(1/1),B(3/5),C(5/5) ,P(5/6),wobei P die Rolle von F übernimmt. Wir zeigen: P liegt ausserhalb des Dreiecks ABC. Das ist schon zeichnerisch evident. Der rechnerische Nachweis gelingt am besten mit Hilfe der baryzentrischen Koordinaten a,b,c des Punktes P bezüglich der Ecken des Dreiecks ABC. Dazu ein wenig Theorie: Ein Punkt P der Ebene besitzt drei baryzentrische Koordinaten; sie seien mit a, b, c bezeichnet. Für die Ortsvektoren u = OA, v = OB, w = OC und r = OP muss gelten: a * u + b * v + c * w = r und a + b + c = 1 (Normierung) Beachte: a, b, c sind zu bestimmende Skalare, die baryzentrischen Koordinaten von P, und u, v, w, r sind Vektoren des R2. Der Sinn der Sache ist: Die baryzentrischen Koordinaten heißen auch Schwerpunktskoordinaten, aus folgendem Grund: Werden nämlich Massen a, b, c mit der Summe 1 (Gesamtmasse) der Reihe nach in den Punkten A, B, C platziert, dann ist P der Schwerpunkt des Systems. Es gilt der bemerkenswerte Satz: P liegt genau dann im Innern des Dreiecks, wenn alle drei baryzentrischen Koordinaten von P positiv sind. Berechnung der baryzentrischen Koordinaten: Wenn xA, yA, xB, yB,xC, yC, xP, yP die kartesischen Koordinaten der Punkte A, B, C, P sind, so erhält man die baryzentrischen Koordinaten aus dem linearen Gleichungssystem xA* a + xB* b + xC * c = xP Fortsetzung folgt yA* a + yB* b + yC * c = yP a + b + c = 1 Empfehlung: Auflösung des Systems nach Cramer.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2029 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:13: |
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Fortsetzunng Für unser Zahlenbeispiel gilt nach einer Parallelverschiebung des Systems mit A als Nullpunkt:A(0/0),B(2/4),C(4/4),P(4/5) 0 * a + 2 * b + 4 * c = 4 0 * a + 4* b + 4 * c = 5 a + b + c = 1 Lösung: a = - ¼ b = ½ c = ¾ Quintessenz: P liegt ausserhalb des Dreiecks,da a negativ ist. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 653 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:47: |
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@H.R. & Friends :-) meinen besten Dank. Werde das morgen am Tag der Arbeit gleich mal nachrechnen und versuchen das zu verstehen. mfg |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 519 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Mai, 2003 - 00:41: |
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Dazu noch ein interessanter Link (mit einer schönen JAVA - Animation): http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/matdir/ba ry.htm Gr mYthos |
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