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Kathlen (laterne)
Neues Mitglied
Benutzername: laterne
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 17:18: | 
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Eigentlich habe ich das bis jetzt immer ganz gut hinbekommen, aber wir haben das auch immer nur mit Parametergleichungen gemacht.
Ich habe keine Ahnung wie ich die Schnittgerade zweier Ebenen errechne, wenn sie nur in Koordinatenform oder Normalform gegeben sind.
Setzte ich die dann auch einfach gleich?
Und was sind denn bitte Spurgeraden? |
Kathlen (laterne)
Junior Mitglied
Benutzername: laterne
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 16:14: |
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Weiß das denn keiner??? |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 495
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 22:55: |
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Hi,
sag mal, ich hab dir doch eine ausführliche Antwort per Mail gesendet, du musst schon mal deine Accounts abfragen....
Gr
mYthos
P.S.:
Ich werde die Antwort natürlich auch hier veröffentlichen, falls das wieder funktionieren sollte (gestern war das Uploaden nicht möglich...) |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 496
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 23:06: |
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Hi,
hier nun die Antwort, wie schon gestern per Mail gesendet:
Das Uploaden des Ganzen funktioniert auch heute nicht .... ich versuch's mal in 2 Teilen:
Zwei Ebenen in Normalform stellen ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen in 3 Variablen dar. Somit ist für eine der Variablen ein beliebiger, geeigneter (im Sinne einer möglichen und effizienten Lösung) Ausdruck in einem Parameter wählbar. Die Schnittgerade hat ja auch einen Parameter, der ein Multiplikator deren Richtungsvektors ist.
Beispiel:
E1: 4x - y + 2z = 12
E2: x + 2y - 3z = 9
----------------------
es ist besser, zuerst eine Variable zu eliminieren, bevor dann für eine der restlichen ein Parameterausdruck eingeführt wird:
2*E1 + E2:
9x + z = 33
sei x = t (oder t + 3, oder ...), dies ist jedenfalls frei wählbar; man soll vorausschauend darauf Bedacht nehmen, dass auch für z und y ein "angenehmer" Ausdruck (ohne Brüche) entsteht.
Mit x = t ist z = 33 - 9t; damit wird in eine Gleichung des Ausgangsystems eingegangen um y zu ermitteln:
E2:
t + 2y - 3*(33 - 9t) = 9
t + 2y - 99 + 27t = 9
28t + 2y = 108
-> y = 54 - 14t
---------------
Für alle Punkte der Lösungsgeraden gilt nun:
x = 0 + t
y = 54 - 14t
z = 33 - 9t
-------------- bzw.
X = ( 0 | 54 | 33) + t*(1;-14;-9)
Der Richtungsvektor (1;-14;-9) der Geraden steht übrigens jeweils normal zu den Normalvektoren der Ebenen E1 und E2; das prüfen wir, indem wir jeweils das skalare Produkt berechnen, welches dann 0 sein müßte:
(4;-1;2).(1;-14;-9) = 4 + 14 - 18 = 0 und
(1;2;-3).(1;-14;-9) = 1 - 28 + 27 = 0
Also unsere Rechnung sieht recht gut aus; man kann letztendlich noch prüfen, ob der Punkt (0|54|33) in beiden Ebenen E1 und E2 liegt .... (dies stimmt auch)
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 497
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 23:13: |
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Nun zum 2. Teil deiner Frage, den Spurgeraden.
Die Spurgeraden sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen, also mit
x-y - Ebene (z = 0), -> 1. Spurgerade (Grundriss)
x-z - Ebene (y = 0), -> 2. Spurgerade (Aufriss)
y-z - Ebene (x = 0), -> 3. Spurgerade (Seitenriss)
Die drei Spurgeraden begrenzen das sogenannte Spurdreieck, dessen Eckpunkte auf den Koordinatenachsen liegen. Die Abstände dieser Eckpunkte vom Ursprung werden mit dem Begriff "Achsenabschnitte" bezeichnet.
Man erhält diese, wenn man die Ebene auf die sogenannte Abschnittsform bringt:
x/a + y/b + z/c = 1
die Punkte auf den Achsen lauten dann
A(a|0|0), B(0|b|0) und C(0|0|c)
wie leicht zu ersehen ist.
Ich muss hier wieder unterbrechen, weil das Senden nach wie vor nicht richtig klappt ...
Beispiel folgt. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 498
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 23:19: |
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Beispiel:
Gegeben sei die Ebene:
6x - 2y + 3z = 6
6x - 2y + 3z = 6 |:6
x - y/3 + z/2 = 1
A(1;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;2)
die Spurgeraden sind dann die Geraden durch AB, AC und BC
z.B. AB: X = (1;0;0) + r*(1;3;0)
Verifizieren wir dieses Ergebnis, indem wir die Ebene mit der x,y - Ebene schneiden:
6x - 2y + 3z = 6
z = 0
------------------
Wie eingangs erklärt, für eine Variable (ausser z, denn dieses ist hier immer 0) ist ein Parameterausdruck frei zu wählen:
sei y = 3r
(beliebiger Ausdruck in r, so, dass sich x "ausgeht"), z = 0: in 1. Zeile einsetzen:
6x - 6r = 6
x = 1 + r
=========
Lösung:
x = 1 + r
y = 0 + 3r
z = 0
------------
d.i. gleichbedeutend mit
X = (1;0;0) + r*(1;3;0)
Gr
mYthos
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