Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Parabel - Tangente - Flächenstück - V...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Integralrechnung » Volumenberechnung » Parabel - Tangente - Flächenstück - Volumen? « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Anna (ullimay)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: ullimay

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 06:40:   Beitrag drucken

Ich hoffe, jemand kann mir auch bei diesem Beispiel helfen:

Im Punkt T (2/4) der Parabel k: y² = 2px wird die Tangente t gelegt. Das Flächenstück, das von k,t und den Geraden mit den Gleichungen x = 0 bzw. x = 8 begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers!
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

mythos2002 (mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 458
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 20:58:   Beitrag drucken

Hi,

ich nehm' an, k soll die Kurve (Parabel) sein.

Mit T(2|4) wird zunächst p berechnet:
16 = 2p*2 -> p = 4, somit lautet die Parabel

y² = 8x

Tangente t allg.: y*y1 = p*(x + x1), -->
t: 4y = 4*(x + 2) --> y = x + 2

Das gesuchte Volumen ist die Differenz der von der Geraden und von der Parabel erzeugten Drehkörper, in den Grenzen von 0 bis 8.

Allg. ist bei Rot. um die x-Achse:
V = pi*Int(f(x))²dx

V = pi*Int[0;8][(x + 2)²dx - 8x]dx
V = pi*Int[0;8][(x² - 4x + 4]dx
V = pi*(x³/3 - 2x² + 4x)[0;8]
V = pi*(512/3 - 128 + 32) = 224*pi/3 E³
================================

Gr
mYthos
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Anna (ullimay)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: ullimay

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 08:41:   Beitrag drucken

Hallo mythos!

Du scheinst ja ein richtiges mathe-As zu sein! Danke! Sag mal, könntest du mir noch ein beispiel ausrechnen? Ich wär dir sehhhr dankbar, rechne nämlich schon tage an dieser aufgabe herum, kommt aber nie das richtige ergebnis raus :-/.
Dies ist das Beispiel:

Das Flächenstück, das von den Kurven k1 und k2 begrenzt wird, rotiert um die (1) X-Achse und (2) um die y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers!
k1: x² + y² = 25 k2: y² = 16/3*x
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

mythos2002 (mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 463
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 16:01:   Beitrag drucken

Hi,

die Schnittpunkte der Kurven mit den Achsen und Kreis und Parabel gegenseitig werden für die Grenzen benötigt.

Parabel: Scheitel in O
Kreis: Mittelpunkt in O, Radius 5

Schnittpunkt:

x² + (16/3)*x - 25 = 0
x1,2 = -(8/3) +/- sqrt(64/9 + 25)
x1,2 = -(8/3) +/- sqrt(289/9)
x1,2 = -(8/3) +/- (17/3)
x1 = 3; [x2 = -25/3, dazu gibt es keine reellen y-Werte]

y² = (16/3)*3 = 16
y1,2 = +/- 4

S1(3|4) und S2(3|-4)

Rot. um x-Achse:

Parabel von 0 bis 3, Kreis von 3 bis 5

Gesamtvolumen = Paraboloid + Kugelsegment
Vges = Vpar + Vks

Vpar = pi*Int[0;3](16/3)*xdx = pi*8x²/3[0;3] = 24 Pi E³

Vks = pi*Int[3;5](25 - x²)dx = pi*(25x - x³/3)[3;5]
Vks = pi*(125 - 125/3 - 75 + 9) = 52*pi/3 E³

V = 124*pi/3 E³
=============

Bei 2) Rot. um die y-Achse gehst du ähnlich vor:

Die Grenzen sind jetzt die y-Werte, und allg. ist
Vy = pi*Int(f(y)²)dy

Parabel: x = 3y²/16
Kreis: x² = 25 - y²

Vpar = pi*Int[0;4](9(y^4)/256))dy = pi*9/256*(y^5)/5[0;4]
Vpar = pi*9/256*(4^5)/5 = 36*pi/5 E³

Vks = pi*Int[4;5](25 - y²)dy = pi*(25y - y³/3)[4;5]
Vks = pi*(125 - 125/3 - 100 + 64/3) = 14*pi/3 E³

Im Unterschied zu 1) musst du für das Gesamtvolumen jetzt das Ergebnis doppelt nehmen, weil von -4 bis 0 noch einmal dasselbe Flächenstück (um die y-Achse) rotiert!

V = 2*178*pi/15
V = 356*pi/15 E³
==============

Gr
mYthos
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Anna (ullimay)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: ullimay

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 07:42:   Beitrag drucken

Dank dir mYthos!
Hätte da noch eine frage... (alle guten dinge sind 3 ;-) )

Wie berechnet man die schnittpunkte der Parabeln k1: y² = 1/32*(x+6)³ und k2: x² - 10x + y² = 0 ?
Nun ich weiß, dass man k1 = k2 setzt und dann x berechnet, aber wie mach ich wenn x^3 steht? Bei x^2 kann ich x ja mit hilfe der pq-formel errechnen, aber was mach ich bei x^3?
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

mythos2002 (mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 470
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 08:46:   Beitrag drucken

Hi,

nun, von beiden Kurven ist y² zu isolieren und gleichzusetzen (k2 ist übrigens ein Kreis!):

(1/32)*(x+6)³ = 10x - x²
x³ + 18x² + 108x + 216 = 320x - 32x²
x³ + 50x² - 212x + 216 = 0

Jetzt ist eine (ganzzahlige) Lösung zu erraten, sie muss Teiler von 216 sein. Um schneller in die Nähe dieser Zahl zu gelangen, wird von beiden Kurven der Graph gezeichnet, woraus man sofort den Schnittpunkt bei x = 2 ersehen kann.

Einsetzen von x = 2 führt zu

8 + 200 - 424 + 216 = 0 -> wahre Aussage

Eventuelle andere Nullstellen sind durch Polynomdivision zu ermitteln:

(x³ + 50x² - 212x + 216) : (x - 2) = x² + 52x - 108
x³ - 2x² |-
------------
.... 52x² - 212x
.... 52x² - 104x |-
-----------------------
.... 0 .. - 108x + 216
......... - 108x + 216
------------------------
............ 0 .... 0

Das rechts sich nach der Division ergebende Polynom 2. Grades ist nun ebenfalls Null zu setzen, diese quadratische Gleichung ergibt (nach der p-q - Formel):

x² + 52x - 108 = 0
x2,3 = -26 +/- sqrt(676 + 108)
x2,3 = -26 +/- sqrt(784)
x2,3 = -26 +/- 28
x2 = 2; x3 = -54
====== ----------
y1 = y2 = 4

Für x3 gibt es keinen reellen y-Wert!

Somit verbleibt (2|4) als einziger Schnittpunkt, der - infolge der Doppellösung - ein Berührungspunkt beider Kurven ist!

Bei Rotation um die x-Achse ist also die Parabel in den Grenzen von -6 (Nullstelle von k1) bis 2 und der Kreis von 0 bis 2 (Kugelabschnitt) zu integrieren.

Allg.: Vx = pi*Integr(f(x)²)dx [x1; x2]

k1:
V1 = (pi/32)*Int[-6;2][(x+6)³]dx
V1 = (pi/32)*((x+6)^4)/4[-6;2]
V1 = (pi/32)*1024 = 32*pi E³

Das Integral (x+6)³ wurde mit Substitution x+6 = z und dx = dz
berechnet, Integr(z³)dz = (z^4)/4 = (1/4)*(x+6)^4

k2:
V2 = pi*Int[0;2](10x-x²)dx
V2 = pi*(5x² - x³/3)[0;2] = 52*pi/3 E³

Vgesamt = V1 - V2 = 44*pi/3 VE = 46.0767 E³

Gr
mYthos
Rotation2
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Anna (ullimay)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: ullimay

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 07:38:   Beitrag drucken

Hi mYthos!

Danke! du hast mir sehr geholfen. Hab aber noch eine frage zum 1. beispiel. Du hast in deiner lösung geschrieben:
Tangente t allg.: y*y1 = p*(x + x1)
Wie kommst du auf diese gleichung? Ist das eine formel? Ich hab gestern in meinem mathe-duden danach gesucht, hab jedoch nix finden können. :-(
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

mythos2002 (mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 471
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 09:41:   Beitrag drucken

Hallo,

das ist an sich eine Formel und du müsstest sie unter Tangenten/Gleichungen IN einem Punkt d. Kegelschnittes - "Spaltformel" oder dem Ausdruck "Aufspaltungsform" finden können.

Sie lauten - alle für einen Punkt T(x1|y1) AUF der Kurve:

Kreis:
(x1 - m)*(x - m) + (y1 - n)*(y - n) = r²
(Kreis-Mittelpunkt M(m|n))

Ellipse / Hyperbel:
b²x1*x +/- a²y1*y = a²b²

Parabel (y² = 2px):
y1*y = p*(x + x1)

Übrigens, die Polarengleichungen für die Polaren p bezüglich des Pols P(x1|y1) lauten genau so! Denn die Tangente ist ein Spezialfall der Polaren, wenn der Pol eben gerade auf der Kurve liegt.

Die Formel wird ggf. im Mathe-Duden daher unter 'Polare' zu finden sein!

Herleiten kannst du die Formel selber relativ leicht; bei der Parabel

y² = 2px ist die implizite Ableitung (nach x) zu bilden:
2y*y' = 2p
y' = p/y, das ist daher allgemein die Steigung der Tangente t;

in T(x1|y1) ist mt = p/y1

Weil m = (y - y1)/(x - x1) ist, gilt
y - y1 = m*(x - x1) .. allg. Geradengleichung mit Punkt und Steigung

t:
y - y1 = (p/y1)(x - x1) |*y1
y1*y - y1² = px - px1;

weil T auf der Parabel liegt, ist y1² = 2px1
y1*y - 2px1 = px - px1
y*y1 = px + px1

y*y1 = p(x + x1)

Gr
mYthos
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Anna (ullimay)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: ullimay

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 10:21:   Beitrag drucken

Danke für die ausführliche erklärung!

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page