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Nora1 (Nora1)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 16:18: | 
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Hi, brauche die Diskussion der Funktion
f(x)=(x²-1)*e^x
1.Definitionsbereich
2.Verhalten an den Rändern des Definitionbereiches
3.Nullstellen
4.Ableitungen
5.Extremstellen
6.Wendestellen
Wär schön, wenn sich jemand erbarmen würde!
Vielen Dank schon mal, Nora |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 17:32: |
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Hallo Nora1
f(x)=(x²-1)ex
1. Definitionsbereich ist R, also die Menge der reellen Zahlen
2. für x->+oo geht f(x)->+oo
für x->-oo geht f(x)->0, da dann ex->0 geht.
3. Nullstellen: f(x)=0
<=> (x²-1)ex=0 (e-Funktion stets größer Null)
=> x²-1=0
<=> x²=1
=> x=1 und x=-1 sind Nullstellen
4. Ableitungen mit Produktregel,
wobei (ex)'=ex
f'(x)=2xex+(x²-1)ex=ex(2x+x²-1)
f"(x)=ex(2x+x²-1)+ex(2+2x)
=ex(2x+x²-1+2+2x)=ex(x²+4x+1)
f"'(x)=ex(x²+4x+1)+ex(2x+4)
=ex(x²+6x+5)
5. Extrema: f'(x)=0
<=> ex(2x+x²-1)=0
=> x²+2x-1=0
=> x1,2=-1±Ö(1+1)
=> x1=-1+Ö2 und x2=-1-Ö2
mit 2. Ableitung auf Min oder Max prüfen:
f"(-1+Ö2)=e-1+Ö2((-1+Ö2)²+4(-1+Ö2)+1)
=e-1+Ö2(1-2Ö2+2-4+4Ö2+1)
=e-1+Ö2(2Ö2)>0 => Min
f"(-1-Ö2)=e-1-Ö2(-2Ö2)<0 => Max
die zugehörigen y-Werte berechnest du bitte selbst.
6. Wendestellen: f"(x)=0
<=> ex(x²+4x+1)=0
=> x²+4x+1=0
=> x1,2=-2±Ö(4-1)
=> x1=-2+Ö3 und x2=-2-Ö3
Mit 3. Ableitung überprüfen (machst du selbst).
Mfg K. |
Nora1 (Nora1)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 19:24: |
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Vielen lieben Dank K.! Ich hatte mich an der Aufgabe versucht, hatte aber noch Probleme mit dem e in der Funktion. |
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