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Beitrag |
    
Laura
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 15:35: | 
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Hallo Leute,
bitte helft mir, bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter:
Gegeben sind 2 Funktionen f1 und f2 durch f1(x)=e^(-ax) und f2(x)=e^(bx) mit a,b ER a,b>0
Bestimme a und b so,dass für die Funktionsgraphen gilt:
1)Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich orthogonal.
2)Beide Graphen schließen mit der x-Achse eine
Fläche mit möglichst kleinen Inhalt ein.
Vielen, vielen Dank! |
Friedrich Laher
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 22:37: |
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e^(-ax)=e^(bx)
1=e^((a+b)x) ... x = 0
f1'(x) = -a*e^(-ax); f1'(0) = -a
f2'(x) = +b*e^(+bx); f2'(0) = +b
Zwei Kurven schneiden einander in dem "Winkel",
in
dem sich ihre Tangenten (oder, was das gleiche wär, ihre
Normalen)
schneiden.
Hat eine Gerade die Gleichung y = k + m*x
dann
haben alle zu ihr normalen Geraden
die
Gleichung y = l - x/m
es muss also f1'(0) = -1/f2'(0) gelten, also -a = -1/b, a = 1/b
Für die Berechnung der Fläche muss
f1 von 0 bis +unendlich integriert werden und
f2 von -unendlich bis 0 da sie einander in x=0
schneiden.
Die Stammfunktionen sind F1(x) = -e^(-ax)/a, F2(x) = e^(bx)/b
Die Flächen also A1 = 0 - -1/a = 1/a, A2 = 1/b - 0
A = A1+A2 = 1/a + 1/b = 1/b + b
und nun soll A(b) ein Minimum werden:
d(A)/db = -1/b²+1 = 0 also b = 1 wegen Bedingung b>0
(ich nehme eine "freundlich gesinnte" Aufgabenstellung
an und verzichte zu überprüfen, ob es Wirklich ein Minimum ist,
aber man sieht eigentlich an A = 1/b + b dass die
Fläche für 0 < b < 1 grösser wird
)
Somit f1(x) = e^(-x), f2(x) = e^x |
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