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Nelly (nelly123)
Neues Mitglied
Benutzername: nelly123
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Februar, 2003 - 15:29: | 
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Hallo Leute!
Könnt ihr mir dabei bitte helfen??
1.In einem Kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (1/2/2), B (3/4/2), C (7/-1/5) und D (5/1/0) gegeben,
a)Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte A, B und C und zeigen Sie, dass Punkt D nicht in dieser Ebene liegt.
b)Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene E: x1 – x2 - 3x3 + 7 = 0 und den Fußpunkt F des Lotes von D auf E.
c)Untersuchen Sie, ob der Punkt F ( 4/2/3) in Inneren des Dreiecks ABC liegt und berechnen Sie seinen Abstand von der Geraden AB.
d)Welchen Winkel schließen die Ebenen ABC und ABD ein?
2. Gegeben ist ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum mit den Basisvektoren e1 = (1/0/0), e2 = (0/1/0), e3 = (0/0/1), und a = (6/2/-5), b = (12/4/-13), c = (0/k2-1/1) k E IR
a)Zeigen Sie, dass a und b linear unabhängig sind. Berechnen Sie k so, dass die Vektoren a, b, c linear abhängig sind.
b)Berechnen Sie k so, dass c senkrecht zu a ist. Untersuchen Sie, ob es ein k gibt so, dass c zugleich senkrecht auf a und b steht.
Danke im Voraus!
Grüß
Nelly
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Nelly (nelly123)
Neues Mitglied
Benutzername: nelly123
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Februar, 2003 - 17:11: |
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Hallo!
Bitte ich brauche die Aufgaben bis Morgen,kann mir jemand bitte bitte bitte dabei helfen?
Nelly |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 384
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Februar, 2003 - 23:30: |
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Hi,
komplette Hausaufgaben werden im Forum prinzipiell nicht gerechnet. Du musst also mitteilen, wo deine Verständnisschwierigkeiten liegen. Rechnen musst du sie schon selber! Das ist eine der wichtigen Regeln im Forum!
Die Aufgaben sind zwar nicht gar so schwer, aber z.T. umfangreich und ziemlich rechenintensiv.
Dennoch verstehe ich nicht ganz, warum sich da niemand von den ansonsten so forschen Jungs kompetent erklären kann....
Da ich krank bin, nun erst mal etwas gerafft, also nur den Weg und einige Ergebnisse!
Wenn noch ein "Nachschlag" nötig ist, bitte melden!
1.
Für die Ebenen E(A,B,C) aus den Punkten zwei Vektoren ermitteln:
AB = (2;2;0), BC = (4;-5,3)
darauf den Normalvektor N berechnen (denn die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet ja: N*X = c (c.. Konstante)):
|2 4 i |
|2 -5 j| = N
|0 3 k |
N = -6*(-1;1;3), den kann man auf (-1;1;3) abkürzen)
Also E: (-1;1;3).(x;y;z) = c, wir brauchen noch c, das ergibt sich durch Einsetzen eines der drei Punkte A, B, C
-> (-1;1;3).(x;y;z) = c
(-1;1;3).(1;2;2) = c = 7
-> E: -x + y + 3z = 7
Wenn du nun D darin einsetzt, und es kommt daraus eine wahre Aussage zustande, liegt D in E, ansonsten nicht:
D(5|1|0) -> -5 + 1 + 0 = 7
Die Antwort darauf lasse ich nun dir über ...
b)
von D das Lot n auf E: Der Richtungsvektor dieser Geraden ist N, somit ist
n: X = (5;1;0) + t*(-1;1;3), in Zeilenform
x = 5 - t
y = 1 + t
z = 3t
dies in E einsetzen, ergibt den Normalenfußpunkt F:
-5 + t + 1 + t + 9t = 7
11t = 11
t = 1
=======
F = (5;1;0) + 1*(-1;1;3) = (4|2|3)
Der Abstand ist die Distanz FD, der Betrag des Vektors FD = |(-1;1;3)| = sqrt(11)
sqrt = Quadratwurzel
c) d) was hast du da bisher versucht?
Hinweis:
Der Winkel zweier Ebenen ist der Winkel deren Normalvektoren!
Wenn F innerhalb des Dreieckes liegt: Die Winkel (Steigungen) von AF, BF und CF müssen jeweils zwischen den Steigungen von (AB, AC) bzw. (BA, BC) bzw. (CA, CB) liegen.
2.
Wenn a und b linear abhängig wären, müsste der eine Vektor ein Vielfaches des anderen sein:
a = (6;2;-5), b = (12;4;-13)
b = t*a, t müsste eindeutig bestimmbar sein:
(12;4;-13) = t*(6;2;-5)
12 = 6t
4 = 2t
-13 = -5t
----------
aus den ersten beiden Zeilen -> t = 2, aber in der dritten passt's nicht mehr, es ist dort t = 13/5 (also nicht 2), daher -> Vekt. sind lin. unabh.
Bei a, b, c lin. abh. muss c eine Linearkombination der der beiden anderen (a, b) sein, also
(0;k2-1;1) = r*(6;2;-5) + s*(12;4;-13), in Zeilenform ergeben sich 3 Gleichungen in r, s, k2, die man auflösen kann (r = 2/3, s = -1/3; k = 1).
Es geht allerdings auch noch eleganter (ohne r, s, gleich k ausrechnen): Bei 3 lin. abh. Vektoren muss deren Determinante (gebildet aus den Zeilen oder auch Spaltenvektoren) gleich 0 sein (k2 = k):
| 6 2 -5 |
|12 4 -13| = 0
|0 k-1 1 |
6*(4 + 13(k-1)) - 12*(2 + 5*(k-1)) = 0 |:6
...
k = 1 !
b)
c senkrecht a bedeutet: Skalarprodukt a.c = 0, daraus kann k leicht berechnet werden.
c senkrecht auf a und b: c ist proportional (ist das m-fache des ...) zu dem Vektorprodukt a x b!
Also a x b ermitteln, dann den Proportionalfaktor m und schließlich k.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 22., Februar. 2003 von mythos2002 editiert) |
Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 192
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 19:28: |
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Hi mythos,
schade, dass deine Mühe wohl umsonst war. Deckt sich mit meiner Erfahrung. Wer "nur" Tipps gibt, erhält in 90 % der Fälle nicht mal eine Antwort. War ein Grund dafür, dass ich es irgendwann aufgegeben habe.
Du schreibst: "Komplette Hausaufgaben werden im Forum prinzipiell nicht gerechnet. Du musst also mitteilen, wo deine Verständnisschwierigkeiten liegen. Rechnen musst du sie schon selber! Das ist eine der wichtigen Regeln im Forum! "
War vor einigen Monaten eher nicht so, hat sich da inzwischen was geändert?
Auf jeden Fall herzlichen Gruß und sagt mir Bescheid, wenn´s mal wieder ein interessantes Stochastik-Problem gibt  .
Grüße,
Kirk
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