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Franziska (clarah)
Mitglied
Benutzername: clarah
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 12:02: | 
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Hab keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe am besten lösen kann. Es handelt sich um eine Abiaufgabe. Bin für jede Hilfe dankbar.
An einem Lotteriestand werden Rubbelkarten angeboten.
Von den 16 Feldern einer Karte tragen zwei die Ziffer 1 und fünf die Ziffer 2. Die restlichen Felder sind Leerfelder. Jedes Feld ist mit einer undurchsichtigen Deckschicht überzogen, die man mit einer Münze entfernen kann (aufrubbeln).
Für ein Spiel werden zwei Felder einer Karte aufgerubbelt. Eine Rubbelkarte kostet 2 Euro. Für jede aufgerubbelte 1 werden 5 Euro, für jede aufgerubbelte 2 wird 1 Euro ausgezahlt. Für Leerfelder gibt es nichts.
a)Die Zufallsvariable X beschreibt den Auszahlungsbetrag an den Spieler in Euro. Stellen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion in Form einer Wertetabelle dar.
Welchen Gewinn bzw. Verlust kann der Spieler im Schnitt bei 10 Rubbelkarten erwarten?
Wie viele Rubbelkarten müssen täglich mindestens verkauft werden, damit der Betreiber des Lotteriestands in 7 Tagen wenigstens 500 Euro Gewinn erzielt?
b)Wie muss der Auszahlungsbetrag für eine aufgerubbelte 2 geändert werden, damit bei gleichbleibendem Preis von 2 Euro pro Rubbelkarte und gleichbleibender Auszahlung von 5 Euro je aufgerubbelter 1 das Spiel fair ist?
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Jon (jonny_w)
Neues Mitglied
Benutzername: jonny_w
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 16:55: |
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Hi franziska,
da pro Spiel 2 Felder aufgerubbelt werden, gibt es folgende Möglichkeiten (0 = Leerfeld):
2 x "0" Auszahlung: -2
2 x "1" Az: +8
2 x "2" Az: 0
1 x "0", 1 x "1" Az: +3
1 x "0", 1 x "2" Az: -1
1 x "1", 1 x "2" Az: +4
a)
Um die zugehörigen Wschkeiten. zu berechnen, kannst du dir einfach einen Baum zeichnen.
Du erhälst dann folgende Tabelle:
Gewinn -> Wahrscheinlichkeit
8 1/120
4 1/12
3 3/20
0 1/12
-1 3/8
-2 3/10
Der Durchschnittsgewinn pro Spiel entspricht dem Erwartungswert:
E(X) = 8*1/120+4*1/12+3*3/20+0*1/12
-1*(3/8)-2*(3/10)
= -1/8 = -0,125
D.h. in 10 Spielen verliert der Spieler i.D.
1,25 Euro (10 x E(X)).
Um 500 Euro Gewinn zu machen, muss der Betreiber
min. 4000 Lose verkaufen(pro Los 1/8 Euro Gewinn).
D.h. 4000/7 = 571,428...
also min. 572 Lose am Tag.
b)
Das Spiel soll fair sein, d.h. E(X) = 0.
Die Auszahlung für eine "2" ist dabei Variable, z.B. a.
Neue Tabellen:
2 x "0" Auszahlung: -2
2 x "1" Az: +8
2 x "2" Az: 2a-2
1 x "0", 1 x "1" Az: +3
1 x "0", 1 x "2" Az: a-2
1 x "1", 1 x "2" Az: a+3
Gewinn -> Wahrscheinlichkeit
8 1/120
a+3 1/12
3 3/20
2a-2 1/12
a-2 3/8
-2 3/10
E(X)=8*1/120+(a+3)1/12+3*3/20+(2a-2)1/12
+(a-2)3/8-2*(3/10)
=(5a-6)/8
Gleich Null setzen:
(5a-6)/8 = 0
<=> a = 1,2
D.h. der Auszahlungsbetrag für eine "2" muss auf 1 Euro und 20 Cent geändert werden. |
Franziska (clarah)
Mitglied
Benutzername: clarah
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Februar, 2003 - 12:15: |
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Hab nochmal ne Frage zu a) Es muss ja der Auszahlungsbetrag an den Spieler ausgerechnet werden, muss man da den Preis von 2 Euro berücksichtigen. Der hat ja eigentlich mit dem Auszahlungsbetrag nichts zu tun? und wie sieht es bei dem Gewinn bzw. Verlust aus, den der Spieler im Schnitt bei 2 Rubbelkarten macht. Muss man in diesem Fall den Auszahlungsbetrag berücksichtigen?
Die Aufgabe hat noch einen d) Teil. Komme nicht auf die Lösungen 29/120 und n>16,6.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler in einem Spiel?
Wie viele Rubbelkarten muss ein Spieler mindestens erwerben, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens einen Gewinn zu erhalten? |
Jon (jonny_w)
Neues Mitglied
Benutzername: jonny_w
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Februar, 2003 - 16:42: |
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Es muss ja der Auszahlungsbetrag an den Spieler ausgerechnet werden, muss man da den Preis von 2 Euro berücksichtigen. Der hat ja eigentlich mit dem Auszahlungsbetrag nichts zu tun?
Stell dir vor, man muss erst bezahlen, nachdem man gerubbelt hat. Dann stimmt die Definition von Auszahlungsbetrag in der Aufgabe.
und wie sieht es bei dem Gewinn bzw. Verlust aus, den der Spieler im Schnitt bei 2 Rubbelkarten macht. Muss man in diesem Fall den Auszahlungsbetrag berücksichtigen?
Versteh die Frage nicht.
zu d) 1.
Addiere die Wschkeiten. bei denen der Spieler gewinnt:
Gewinn -> Wahrscheinlichkeit
8 1/120 Gewinn!
4 1/12 Gewinn!
3 3/20 Gewinn!
0 1/12
-1 3/8
-2 3/10
1/120 + 1/12 + 3/20 = 29/120
zu d) 2.
p(Gewinn) = 29/120
p(kein Gewinn = 1 - 29/120 = 91/120
1-(91/120)n > 0,99
=>(91/120)n < 0,01
=>lg (91/120)n > lg 0,01
=>n*lg 91/120 > lg 0,01
=>n > lg 91/120/lg 0,01
=>n > 16,647... |
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