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Jenny (leonie1984)
Neues Mitglied
Benutzername: leonie1984
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Februar, 2003 - 17:27: | 
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2/-1/-1).B(-2/1/1), und C(1/4/5)sowie die beiden Geraden g1 : Vektorx=(0/-2/4)+ r((2/-2/1) ; r Element R und g2 :Vektor x= (1/4/5)+ s(2/-3/3) ; s Element R gegeben.
1a) Geben Sie die Gleichung für die Gerade g§ durch die Punkte A und B an.
b) Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Geraden.
2a) Geben Sie eine Parametgleichung für die Ebene E1 an,die den Punkt A und die Gerade g1 enthält.
b)Ermitteln Sie die Koordinatengleichung für die Ebene E1.Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Ebene? |
Holger (matheholger)
Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Februar, 2003 - 21:16: |
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Hi Jenny.
Da hast du ja mal ne gaaaanz lange Aufgabe gepostet!!
1.a)
Um die Gleichung einer Gerade zu bestimmen, brauchst du immer 2 Objekte:
- den Ortsvektor eines festen Punkt, durch den die Gerade verläuft, den Aufhängepunkt (AP)
- einen Vekror, der die Richtung der Gerade angibt, den Richtungsvektor (RV)
Wenn du dir g1 anschaust, ist der Punkt
P(0/-2/4) der AP und
der zugehörige Ortsvektor ist
Der 2. Vektor, der mit einer beliebigen reellen Zahl r multipliziert wird, ist der RV.
Für die Gerade g3 nimmst du einen der beiden Punkte A oder B (welcher dir besser gefällt).
Also mir gefällt A(2/-1/1) besser *g*.
Der RV ist der Verbindungsvektor von A zu B. den man als Differenz der Ortsvektoren beider Punkte berechnet (Damit du Vektoren erkennst, schreibe ich sie immer fett
(a heißt Vektor a und a ist der Betrag vom Vektor a.)
| ( | -2-2 | ) | | ( | -4 | ) | | v = b - a = | ( | -1-1 | ) | = | ( | -2 | ) | | ( | -1-1 | ) | | ( | -2 | ) |
Jetzt kann man auch ein Vielfaches dieses Vektors verwenden, da es nicht auf seine Länge, sondern nur auf seine Richtung ankommt. Dazu teile ich noch jede Koordinate durch -2 und erhalte den Vektor:
Also haben wir:
| ( | 2 | ) | | ( | 2 | ) | | g3:x = | ( | -1 | ) | + r* | ( | 1 | ) | | ( | -1 | ) | | ( | 1 | ) |
So, nun zu 1b)
Für den Winkel a zwischen 2 Vektoren a und b gilt die Fromel:
Im Zähler steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren und im Nenner das Produkt ihrer Beträge.
Für den Winkel zwischen 2 Geraden musst du für die obigen Vektoren ihre RV verwenden.
Für g1:
mit dem Betrag:
Wurzel(22 + (-2)2 +12) = Wurzel(9) = 3
Für g2:
mit dem Betrag:
Wurzel(22 + (-3)2 +32) = Wurzel(22)
Für das Skalarprodukt musst du die jeweiligen Koordinaten der RV miteinander malnehmen und die Ergebnisse addieren:
| ( | 2 | ) | | ( | 2 | ) | | | ( | -2 | ) | ° | ( | -3 | ) | = 2*2 + (-2)*(-3) +1*3 = 4 + 6 + 3 = 13 | | ( | 1 | ) | | ( | 3 | ) |
Dann setzt du alles ein:
| 13 | | cosa= | -------------- | | 3*Wurzel(22) |
cosa= 0,92387
a= 22,50°
Aufgabe 2 gibt's morgen
Liebe Grüße
Holger
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Holger (matheholger)
Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 12:19: |
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Hi
Jetzt zu 2.
Ähnlich wie bei einer Gerade muss man RV und AP bestimmen. Allerdings braucht man für eine Ebene 2 RV.
Klar ist der AP. Der geht aus der Aufgabenstellung hervor: A
Sein Ortsvektor:
Die beiden RV müssen die Richtung der Ebene im Raum beschreiben. (Du kannst dir die beiden wie zwei Stifte im Raum vorstellen, auf die du ein Blatt Papier (Ebene) legst.)
Einer muss in Richtung der Gerade g1 verlaufen, da die ja in E1 liegt. Also nehmen wir den RV von g1.
Für den 2. RV musst du einen anderen Vektor, der nicht ein Vielfaches des obigen ist, aber in der Ebene liegt, suchen. Dazu nimmst du einen, der von A zur Geraden g1 verläuft. Am einfachsten ist der Verbindungsvektor von A zum Aufhängepunkt (0/-2/4) von g1. (Differenz bilden - vgl. 1.a))
| ( | 0 - 2 | ) | | ( | -2 | ) | | ( | -2-(-1) | ) | = | ( | -1 | ) | | ( | 4-(-1) | ) | | ( | 5 | ) |
Dann haben wir alles. In der Gleichung bekommen die RV noch einen unterschiedlichen reellen Parameter r bzw s ranmultipliziert und du erhältst:
| ( | 2 | ) | | ( | 2 | ) | | ( | -2 | ) | | E1:x = | ( | 1 | ) | + r* | ( | -2 | ) | + s* | ( | -1 | ) | | ( | -1 | ) | | ( | 1 | ) | | ( | -5 | ) |
Die Koordinatenform einer Ebene ist auch eine Gleichung, die jeden Punkt in der Ebene beschreibt, aber im Gegensatz zur Parameterform keine Parameter enthält (wie hier r und s), sondern es tauchen nur die Koordinaten x1, x2 und x3 auf.
Z.B. E: 2x1 + 3x2 - x3 + 3 = 0
Liegt ein Punkt in der Ebene, musst du seine Koordinaten einsetzen können und es entsteht eine wahre Aussage:
Der Punkt P( 2 / -1 /4 ) z. B. liegt in E, denn beim Einsetzen bekommst du:
2*2 + 3*(-1) - 4 + 3 = 0
4 - 3 - 4 + 3 = 0
0 = 0
und das ist eine wahre Aussage.
Jetzt zu der Ebene E1:
| ( | 2 | ) | | ( | 2 | ) | | ( | -2 | ) | | E1:x = | ( | 1 | ) | + r* | ( | -2 | ) | + s* | ( | -1 | ) | | ( | -1 | ) | | ( | 1 | ) | | ( | -5 | ) |
Um überhaupt Koordinaten zu sehen, musst du den Vektor x mit seinen Koordinaten aufschreiben:
und den dann in die Gleichung einsetzen:
| ( | x1 | ) | | ( | 2 | ) | | ( | 2 | ) | | ( | -2 | ) | | E1: | ( | x2 | ) | = | ( | -1 | ) | + r* | ( | -2 | ) | + s* | ( | -1 | ) | | ( | x3 | ) | | ( | -1 | ) | | ( | 1 | ) | | ( | 5 | ) |
Liest man diese Vektorgleichung zeilenweise, so hat man Ein System mit 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten (x1, x2, x3, r und s):
| I. | ( | x1 | ) | = | ( | 2 | ) | + r* | ( | 2 | ) | + s* | ( | -2 | ) | | II. | ( | x2 | ) | = | ( | -1 | ) | + r* | ( | -2 | ) | + s* | ( | -1 | ) | | III. | ( | x3 | ) | = | ( | -1 | ) | + r* | ( | 1 | ) | + s* | ( | 5 | ) |
oder
| I. | x1 | = | 2 | + 2r | - 2s | | II. | x2 | = | -1 | - 2r | - s | | III. | x3 | = | -1 | + r | + 5s |
Das Ziel ist, eine Gleichung mit den Koordinaten x1, x2 und x3 zu bekommen. Also müssen r und s verschwinden.
Man kann z. B. I und II addieren, dann fällt r weg.
| I+II | x1 + x2 | = | 2 - 1 | + 2r - 2r | - 2s - s | | x1 + x2 | = | 1 | | - 3s |
(*)
Auch bei Addition von II mit 2mal Gleichung II fällt r weg.
| II. | x2 | = | -1 | - 2r | - s | | 2*III. | 2x3 | = | -2 | + 2r | + 10s |
| II.+2*III. | x2+2x3 | = | -1-2 | - 2r + 2r | - s + 10s | | x2+2x3 | = | -3 | | + 9s |
(**)
Jetzt vergleichen wir die beiden entstandenen Gleichungen (*) und (**):
| (*) | x1 + x2 | = | 1 | - 3s | | (**) | x2+2x3 | = | -3 | + 9s |
Multipliziert man (*) mit 3 und addiert (**), dann fällt auch das s weg!!
| 3*(*) | 3x1 + 3x2 | = | 3 | - 9s | | (**) | x2+2x3 | = | -3 | + 9s |
| 3*(*)+(**) | 3x1 + 3x2 + x2+ 2x3 | = | 3 - 3 | - 9s + 9s | | 3x1 + 4x2 + 2x3 | = | 0 | |
Und das ist auch die gesuchte Koordinatenform:
E1: 3x1 + 4x2 + 2x3 = 0
Jetzt ist alles fertig, wenn keine Rechenfehler drin sind. Aber das vermute ich schwer, weil das einzig besondere an dieser Ebene ist, dass sie den Ursprung O(0/0/0) enthält.
Liebe Grüße
Holger |
Jenny (leonie1984)
Junior Mitglied
Benutzername: leonie1984
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 13:55: |
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Also, ich hätte zu deinen Berechnungen ein paar Fragen und zwar...
zu1 a) Ich schätze mal,das du die Punkte A und B genommen hast und sie voneinander subtrahiert hast...bei mir kommt allerdings etwas anderes raus und zwar (-4/2/2)..weil b(-2/1/1)- a(2/-2/1) = wie vorher gesagt...was hab ich denn da falsch gerechnet ?
zu b) Muss ich da nicht anstatt g2 (2/-3/3)...den Richtungsvektor von g3 nehmen? Schließlich muss ich zeigen das sich g1 und g3 schneiden...oder hab ich da was falsch verstanden?
Zu2 a) Bei Bestimmung des 2 RV hab ich wieder ein anderes Ergebnis als du und zwar (-2/-1/3) ...was hab ich denn da wiederrum falsch gemacht?
Zu 2b) Vestehe ich den Vorgang der Berechnung der Koordinatenform nicht....wie kommst du zum Schluss auf diese Zahlen ?Könntest du mir vielleicht ein bisschen simpler erklären?
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Holger (matheholger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 16:50: |
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Hi
Sorry: zu 1a) das war mein Fehler.
Dein Vektor stimmt.
Dann kannst du aber
(-2/1/1) als RV nehmen.
Zu 1.b) In deiner Aufgabenstellung hast du nur geschrieben "Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden." Ich wusste nicht, welche beiden der 3. So habe ich 1 und 2 verwendet. Aber du hast Recht, wenn du 1 und 3 nimmst, musst du den von 3 nehmen.
Zu 2.a) Wenn die Punkte und Geraden ganz oben stimmen, dann hast du 4 - (-1) und das ist 4 + 1 =5 und nicht 3 in der 3. Koordinate des 2. RV.
Zu 2. b) Hier gibt es auch noch eine andere Methode. Nämlich die, das man die Normalenform der Ebene bestimmt und diese dann in Koordinatenform angibt. Aber ich hab keine Ahnung, ob dir das was sagt.
Wenn ja, dann sag's mir, dann kann ich`s dir damit nochmal erklären. Wenn nein dann musst du
das Gleichungssystem lösen. Ich habe es oben mit Additionsverfahren gemacht.
Liebe Grüße
Holger
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Jenny (leonie1984)
Junior Mitglied
Benutzername: leonie1984
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 18:34: |
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zu 1b) sorry war mein FEhler,aber schließlich hab ich jetzt selbst mitgedacht !
zu 2a ach ja,stimmt ich hatte das MInus vergessen !:-) Sorry ,mein Fehler!
zu 2b)...doch das sagt mir was...wäre nett ,wenn du es mir erklären könntest! |
Holger (matheholger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Februar, 2003 - 18:40: |
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Hi Jenny
Normalenform ist eine andere Beschreibung einer Ebene. Man stellt für jeden beliebigen Punkt X (Ortsvektor x) auf der Ebene (wie auch in der Parameterform) eine Gleichung auf.
Hier verwendet man den Verbindungsvektor von X zu einem festen Punkt P (Ortsvektor p) auf der Ebene. Dies ist also der Differenzvektor (x - p).
Nimmt man jetzt noch einen Vektor n, der auf die Ebene senkrecht steht, den Normalenvektor, so weiß man, dass er auch auf jeden der Verbindungsvektoren (x - p) senkrecht stehen muss, egal, wo auf der Ebene X liegt.
Also ist das Skalarprodukt eines jedenVerbindungsvektors (x - p) und n immer 0. Und das ist schon die Gleichung:
n ° (x - p) = 0
P ist der Aufhängepunkt A der Ebene, also
Wie erhält man nun n?
Der Vektor n steht auf die beiden RV der Ebene senkrecht. Und dafür gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Setze
bilde damit das Skalarprodukt mit jedem der beiden RV, das du 0 setzt. Du erhältst ein GLS.
2. Du bildest das Vektorprodukt (Kreuzprodukt der beiden RV. Das Ergebnis ist ein Vektor, der auf beide RV senkrecht steht und so als Normalenvektor verwendet werden kann.
(Hab mich oben paarmal bei den Vorzeichen verschrieben)
| ( | 2 | ) | | ( | -2 | ) | | ( | -2*5 - (-1)*1 | ) | | ( | -8 | ) | | ( | -2 | ) | x | ( | -1 | ) | = | ( | -[2*5 - (-2)*1] | ) | = | ( | -12 | ) | | ( | 1 | ) | | ( | 5 | ) | | ( | 2*(-1)-(-2)*(-2) | ) | | ( | -6 | ) |
Dann noch jede Koordinate durch -2 teilen:
In die lila Gleichung einsetzen:
| ( | 4 | ) | | ( | 2 | ) | | ( | 6 | ) | ° [x - | ( | -1 | )] = 0 | | ( | 3 | ) | | ( | -1 | ) |
Setze
oben ein:
| ( | 4 | ) | | ( | x1 | ) | | ( | 2 | ) | | ( | 6 | ) | ° [ | ( | x2 | ) | - | ( | -1 | )] = 0 | | ( | 3 | ) | | ( | x3 | ) | | ( | -1 | ) |
Dann Skalarprodukt berechnen:
E: 4x1 + 6x2 + 3x1 - [4*2 + 6*(-1) + 3*(-1)] = 0
E: 4x1 + 6x2 + 3x1 + 1 = 0
So das war's.
Liebe Grüße
Holger |
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