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Beitrag |
    
Andre
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 20:38: | 
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Ich bräuchte die genaue Lösung zu dieser Aufgabe:
An den Graphen der Funktion f(x)=e^x ist an der Stelle x=u (u<0) eine Tangente zu legen, wie lautet deren Gleichung.
Die Tangente bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck, dessen Flächeninhalt als Funktion von u anzugeben ist.
Für welchen u wird der Flächeninhalt am größten? |
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 13:05: |
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Hi Andre
f(x)=e^x
f'(x)=e^x
Die Steigung der Tangente im Punkt u ist also e^u. Außerdem geht die Tangente durch den Punkt P(u/e^u):
y-e^u=e^u(x-u) [Punkt-Steigungs-Form]
<=>y=e^u*x+(1-u)e^u
Dies ist die Funktion für die Tangente. Als nächstes müssen jetzt die Schnittpunkte mit den Achsen berechnet werden:
Schnittpunkt mit der Y-Achse:
y=e^u*0+(1-u)e^(u)=(1-u)e^(u)
Schnittpunkt mit der X-Achse:
0=e^u*x+(1-u)e^u
<=> -(1-u)e^u=e^u*x
<=> x=u-1
Da u-1 immer kleiner als 0 ist, nimmt man den Betrag davon für die Berechnung des Flächeninhalts:
|u-1|=1-u
Funktion für den Flächeninhalt:
A(u)=1/2*(1-u)*(1-u)*e^u=1/2*(1-u)^2*e^u
[Flächeninhalt Dreieck=1/2*Grundseite*Höhe]
Von dieser Funktion bestimmen wir jetzt den Hochpunkt:
A'(u)=(u-1)e^u+1/2*(u-1)^2*e^u
0=(u-1)e^u+1/2*(u-1)^2*e^u
<=> -(u-1)e^u=1/2*(u-1)^2*e^u
<=> -2=u-1
<=> u=-1
[Eigentlich muss man am Anfang aufpassen, wenn man durch u-1 teilt, weil man damit voraussetzt, dass u-1 nicht 0 wird. In diesem Beispiel ist u=1 nämlich auch eine Lösung der Gleichung. Sie entfällt aber nach der Voraussetzung u<0]
A''(x)=e^u+2(u-1)e^u+1/2*(u-1)^2*e^u
A''(-1)=-1/e
->Es liegt tatsächlich ein Hochpunkt für u=-1 vor.
A(-1)=2/e
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt dann 2/e
MfG
C. Schmidt |
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