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Yvonne (Friday)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 09:34: | 
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Hallo !
Und zwar habe ich da eine recht umfangreiche Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiß, wie man sie rechnen soll. Ich stolpere schon über die Ableitung von f(x). Wäre für eine Eklärung dieser Aufgabe sehr dankbar.
Geg.:
f(x) = (4-e^x)*e^x Ihr Schaubild sei K
g(x) = r*e^x Ihr Schaubild sei C
a) Unterschen Sie K auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch-, Tief-, und Wendepunkten sowie auf Asymptoten.
b)Die Kurve K und das Schaubild C schneiden sich in einem Punkt P. K schließt mit den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-Achse durch P im ersten Feld eine Fläche ein. Berechnen sie ihren Inhalt. In welchem Verhältnis teilt C diese Fläche ?
c)Zeigen Sie: Für 0 < r < 3 schneiden sich K und C in einem Punkt S, der im ersten Feld liegt.
C schließt dann mit den Koordinatenachsen un der Parallelen zur y-Achse durch S eine Fläche mit dem Inhalt A (r) ein. Für welchen Wert von r wird A (r) maximal ?
Danke!! |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 10:42: |
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Hallo Yvonne
a) Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)
f(x)=0
<=>(4-ex)*ex=0
=> 4-ex=0
=> ex=4
=>ln(ex)=ln4
=> x=ln4
Schnittpunkte mit der y-Achse: x=0
=> f(0)=(4-e0)+e0=(4-1)*1=3
Ableitungen:
erfolgen mit Produktregel, wobei du wissen musst, dass (ex)'=ex gilt.
f(x)=(4-ex)*ex
f'(x)=-ex*ex+(4-ex)*ex
=ex(4-ex-ex)
=ex(4-2ex)
f"(x)=ex(4-2ex)+ex*(-2ex)
=ex(4-2ex-2ex)
ex(4-4ex)
Extrema: f'(x)=0
<=> ex(4-2ex)=0
=> 4-2ex=0
=> 2ex=4
=> ex=2
=> x=ln2
f"(ln2)=eln2(4-4eln2)=2(4-4*2)=2(4-8)=-8<0 => Max
Wendepunkte: f"(x)=0
<=>ex(4-4ex)=0
=> 4-4ex=0
=> ex=1
=> x=0
Müsste mit 3.Ableitung überprüft werden.
Mfg K. |
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