| Autor |
Beitrag |
    
Tatjana (Meine_Rose)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 11:59: | 
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Hallo Freunde,
ich habe hier 2 Aufgaben. Wer könnte mir bitte helfen ?
1. f(x)= 1 - [(x-n)/(x+n)]^2
2. f(x)= [x/(x^2-1)^2] * ln [x^2/(x^2-1)]
Ich würde mich freuen auf Deine Hilfe.
viele Grüße, Tatjana :-) |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 12:28: |
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Hallo Tatjana,
Was ist denn gefragt? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 19:55: |
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Hi Tatjana,
Es ist zu schön,um wahr zu sein!
Ich nehme an, die vorgelegten Funktionen seien
Integranden, deren unbestimmte Integrale zu
ermitteln sind.
Wenn Du auch an Lösungen nicht interessiert zu sein
scheinst, gibt es doch wohl Beflissene, die es wissen wollen.
Zu1] :
Gesucht werde eine Stammfunktion F(x) zu f(x)
Wir formen f(x) um:
f(x) = 1 - [ x ^ 2 - 2 n x + n ^ 2 ] / [x ^ 2 + 2 n x + n ^ 2 ] =
1 - [ x ^ 2 + 2 n x + n ^ 2 - 4 n x ] / [ x ^ 2 + 2 n x + n ^2 ] =
1 - 1 + 4 n x / [ x ^ 2 + 2 n x + n ^ 2 ] =
4 * n * x / [ x ^ 2 + 2 n x + n ^ 2 ]
Den Bruch Q(x) = x / [x ^ 2 + 2 * n * x + n ^2 ] = x / (x+n)^2
zerlegen wir noch in Partialbrüche:
Q = A / [( x + n ) ^ 2 ] + B / ( x + n )
Mit der bekannten Methode des Koeffizientenvergleichs
finden wir:
A = - n , B = 1.
Somit erhalten wir für f(x) die Darstellung
f(x) = - 4 n ^ 2 / [ ( x + n ) ^ 2] + 4 n / ( x + n )
Gliedweise Integration ergibt die Stammfunktion
F(x) = 4 * n ^ 2 / ( x + n ) + 4 n * ln ( x + n ) + C
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2]
Im Integral J = int [ f(x) * dx] substituieren wir zunächst
x ^ 2 = z , dx = ½ * dz
Wir erhalten
J = ½ * int [{ ln (z / ( z - 1 ) }/ { ( z -1 ) ^ 2 } * dz
Nun integrieren wir partiell:
J = ½ * { - 1 / (z-1) * ln (z / (z - 1)) +
int [ 1 / (z -1) * ((z-1) / z) * ( - 1 / (z-1) ^ 2 ) ] }
Separate Berechnung des Integrals K in der letzten Zeile
K = - int [ [1 / { z* ( z - 1 ) ^ 2 }* ] dz
Der Integrand Q wird in Partialbrüche zerlegt::
Q = A / z + B / [(z - 1 ) ^ 2 ] + C / (z-1)
Mit dem bekannten Verfahren gewinnt man:
A = 1 , B = 1 , C = -1
Damit erhalten wir für das Integral K durch
gliedweise Integration (Beachte das Minuszeichen vor K !)
K = - ln z + 1 / (z -1) + ln (z - 1 ).
Setzt man alles zusammen und schreibt für z wiederum x^2,
so erhält man das Schlussresultat.
F = ½ {- 1 / (x^2-1)* ln (x^2 /(x^2-1)) - ln x^2 +1/(x^2-1)+ln(x^2-1)}
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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