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Christian Oeing (chriso)
Mitglied
Benutzername: chriso
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 13:18: | 
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Aufg.:
Ein Gefäß besteht aus einem Zylinder mit unten angesetzter Halbkugel!Der Rauminhalt soll bei vorgegebener Oberfläche O ein Maximum annehmen.
Das Gefäß sei oben a)offen b) geschlossen
bitte um Hilfe
co |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 20:04: |
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Hi,
der Radius des Zylinders bzw. der Halbkugel sei x, die Höhe des Zylinders y
Zielfunktion: V = x²*y*pi + (2*pi/3)*x³
Nebenbedingung (NB):
a) O = 2xy*pi + 2x²*pi (M_Zyl + O_Halbk)
b) O = 2xy*pi + 3x²*pi (M_Zyl + O_Halbk + Deckfl.)
Aus der NB: a) y = [(O/pi) - 2x²]/2x bzw. b) y = [(O/pi) - 3x²]/2x
Bei der Zielfunktion kann der konst. Faktor pi weggelassen werden, dann y einsetzen;
V(x) = x*[(O/pi) - 2x²]/2 + (2/3)*x³ ... bei a)
V(x) = x*[(O/pi) - 3x²]/2 + (2/3)*x³ ... bei b)
------------------------------------------------
V(x) = O*x/2pi - x³/3 ... bei a)
V(x) = O*x/2pi - 5x³/6 ... bei b)
.........
die Ableitungen und Nullsetzen dürften nun keine besonderen Schwierigkeiten mehr machen, wenn doch, dann bitte nochmals sagen, wo das Problem besteht.
Gr
mYthos
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Christian Oeing (chriso)
Mitglied
Benutzername: chriso
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 20:13: |
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Bei der Nullstelle kommt bei mir etwas ziemlich unglaubwürdiges raus, um es mal vorsichtig auszusprechen.
Wäre super nett, wenn du oder jemand anderer es nochmal probieren könnte!!
Danke schonmal!
co |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 23:07: |
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Hi,
ich rechne mal für a) weiter:
....
V(x) = O*x/2pi - x³/3
V'(x) = O/2pi - x²
V''(x) = -2x < 0 (für x > 0 sinnvoll), daher Maximum
V'(x) = 0
x² = O/2pi
x = sqrt(O/2pi)
===============
y = [(O/pi) - 2x²]/2x = O/pi - O/pi = 0 !
D.h. das Volumen ist in diesem Fall bei gegebener Oberfläche nur dann maximal, wenn der Zylinder auf die Höhe 0 "schrumpft" und der Körper nur aus der Halbkugel mit dem Radius x = sqrt(O/2pi) besteht. Das hast Du wahrscheinlich mit "unglaubwürdig" gemeint. Ich meine, es ist etwas ungewöhnlich, stimmt aber dennoch.
Dafür schaut b) vollkommen normal bzw. recht nett aus:
....
V(x) = O*x/2pi - 5x³/6
V'(x) = O/2pi - 5x²/2
V''(x) = -5x < 0 (für x > 0 sinnvoll), daher Maximum
V'(x) = 0
x² = O/5pi
x = sqrt(O/5pi)
===============
y = [(O/pi) - 3x²]/2x
y = [(O/pi) - 3*O/5pi]/2sqrt(O/5pi)
y = 2*O/5pi / 2sqrt(O/5pi)
y = sqrt(O/5pi)
===============
x ist also gleich y!!
D.h. das Volumen ist im Fall b) bei gegebener Oberfläche dann maximal, wenn der Radius des Zylinders bzw. der Kugel gleich der Höhe des Zylinders ist.
Vmax = O/3pi * sqrt(O/5pi)
Du kannst beide Beispiele mit besonderen Zahlen gut rechnen und damit das Ergebnis kontrollieren, wenn Du bei a) O = 72pi cm² und bei b) für O = 45pi cm² setzst. Im ersten Fall ist x = 6 cm, y = 0 und V = 144pi cm³, im zweiten x = y = 3 cm und V = 45pi cm³.
Gr
mYthos
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