| Autor |
Beitrag |
    
Bettina Löbinger (Bettina2k1)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 00:25: | 
|
Hallo ihr!
Ich soll zbis Montag diese Aufgabe gelöst haben, finde aber trotz intensiver suche keinen Ansatz. Den Hinweis habe ich beachtet, aber ich weiss nicht wie er in die Lösung des Problems einzugliedern ist.
Ich bin für jede Hilfe dankbar:
Berechnen Sie den Bildpunkt Dx des Punktes x = (1,1,1) unter der räumlichen Drehung D: R^3 -> R^3
um den Ursprung mit Drehwinkel pi/3 und der Drehachse w= 1/3(2,2,1).
Hinweis: Ergänzen sie w zu einem rechtshändigen Orthonormalsystem u, v, w in IR^3. Schreiben sie x als Linearkombination von u, v, w und verwenden sie, wie Drehungen in einer Ebene dargestellt werden. Wählen sie zur Vereinheitlichung der Lösung den Vektor u = (a,b,c) mit a>0 und c=0.
u,v,w,x sind winkel.
Gruß,
Bettina |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 23:15: |
|
Hi Bettina,
Wir lösen Deine ziemlich anspruchsvolle Aufgabe
in N Schritten ( N = ? ).
1.Schritt
Wir legen durch den Nullpunkt O eine senkrechte Ebene E zur
Drehachse. Der gegeben Achsenvektor ist ein Normalenvektor
von E.
Somit lautet eine Koordinatengleichung dieser Ebene :
2 x + 2 y + z = 0. In E wählen wir einen Punkt A mit einfachen
Koordinaten; die Wahl fällt auf A ( 1 / - 1 / 0 )
OA ist die x-Achse eines neuen Koordinatensystems (X,Y,Z);
der Einheitsvektor u = 1 / wurzel (2) * {1;-1 ;0}
auf dieser Achse ist ein neuer erster Basisvektor.
Der dritte Basisvektor der Z-Achse ist uns schon bekannt;
es ist der gegebene Einheitsvektor w = 1 / 3 * {2 ; 2 ; 1 }
Den (zweiten) Basisvektor v auf der Y-Achse erhalten
wir als Vektorprodukt (Kreuz x als Operationszeichen)
v = w x u ( diese Reihenfolge, damit
befolgen wir die Vorschrift dass auch das neue System ein
Rechtssystem sein muss).
Wir erhalten: v = 1 / [3*wurzel (2)] * {1 ;1 ;-4 } ;
dieser Vektor ist a priori ein Einheistsvektor.
Im gegenüber dem alten System gedrehten System (X,Y.Z)
Kennen wir alle drei Basiseinheitsvektoren.
Das neue System ist für die Durchführung der
Vorgeschriebenen Drehung bestens geeignet,
da diese um die Z-Achse zu erfolgen hat.
2.Schritt.
Darstellung des Vektors v = OP = {1 ; 1 ;1 ) durch seine
Koordinaten im neuen System ;
X , Y , Z seien die Koordinaten von P im neuen System
Wir befolgen den Rat und stellen OP als eine
Linearkombination der Basisvektoren dar:
OP = 1* i + 1* j + 1 * k ( i ,j , k sind die
Basiseinheitsvektoren des ( x, y , z)-Systems
Ebenso:
OP= X* u + Y* v * w
Es kommt somit das folgende Gleichungssystem für die
Koordinaten X , Y , Z von P:
1 / wurzel(2) * X + 1 / [3 * wurzel(2)] * Y + 2 / 3 * Z = 1
- 1 / wurzel(2) * X + 1 / [3 * wurzel(2)] * Y + 2 / 3 * Z = 1
................................- 4 / [3 * wurzel(2)] * Y + 1 / 3 * Z = 0.....(GL.I)
Man findet als Lösung leicht:
X = 0 , Y = - 1 / 3 * wurzel(2) , Z = 5/3 ..........................................(Gl.II)
Damit ist eine wichtige Vorarbeit geleistet
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 08:02: |
|
Hi Bettina,
3.Schritt
Wir vollziehen die verlangte Drehung im neuen System
(X,.Y.Z) und erinnern daran, dass die Z-Achse die Drehachse ist.
In einer Skizze der (X,Y) -Ebene können wir diese Drehung leicht
realisieren, indem wir die Projektion des Punktes P auf die
(X,Y)-Ebene mit Q bezeichnen und die Drehung von Q
um den Nullpumkt beschreiben; bei der Drehung entstehe aus Q
der Punkt Q' , aus P wird P'.
Wir ermitteln die Koordinaten dieser Punkte im neuen System.
Q liegt wegen X = 0 und Y = - 1/3*wurzel(2) auf der negativen
Y-Achse. Wegen des Drehwinkels von 60° sind die Punkte
O ,Q , Q' die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, Seitenlänge
1/3*wurzel(2).
Die Koordinaten des gedrehten Punktes Q' sind, wie man rein
planimetrisch findet:
X ' = 1/3*wurzel(2) * ½ * wurzel(3) = 1/6 * wurzel(6),
Y' = - ½ * 1/3 * wurzel (2) = - 1/6* wurzel(2)
Daraus ergeben sich die Koordinaten des gedrehten Punktes P' zu:
X ' = ..(wie soeben) , Y ' =...(wie soeben), Z ' = 5/3 = Z (nach wie vor).
4.Schritt
Die Transformation wird rückgängig gemacht: aus den neuen
Koordinaten X ', Y ' , Z ' des gedrehten Punktes P ' sind die
alten Koordinaten x ' , y ' , z ' desselben Punktes zu berechnen
Dies geschieht mit der "inversen" Formeln zu (Gl I).
Die Transformation von x' aus X ' .... verläuft zur Transformation
von X' aus x' ... kontragredient (Gegensatz: kogredient),d.h.
die Zeilen und Kolonnen in der Koeffizientenmatrix sind in der
Rolle zu vertauschen.
Wir lösen das Gleichungssystem:
1/ wurzel(2) * x ' - 1 / wurzel (2) * y ' + 0 * z ' = wurzel(6) / 6
1/[3*wurzel(2)] x' + 1/[3*wurzel(3)]y' -4/[3*wurzel(2)] z'= - wurzel(2)/6
2 / 3 x' + 2 / 3 y' + 1 / 3 z ' = 5 / 3.
NB Auf der rechten Seite stehen die neuen Koordinaten X ' , Y ' , Z '
des gedrehten Punktes.
Eine Auflösung des Systems liefert das Schlussresultat:
x ' = 1/6 * WURZEL(3) + 19 /18
y ' = - 1/6 * WURZEL(3) + 19 /18
z ' = 7 / 9
Anmerkung
In einem dritten Teil soll die Struktur der Matrix obiger
Koordinatentransformation untersucht werden.
Sodann sollen diverse Rechenproben das Resultat bestätigen.
Dabei wird die Gleichung eines Rotationskegels hilfreich sein.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 14:21: |
|
Hi Bettina,
5.Schritt
Zum Abschluss unterwerfen wir das Ergebnis aus dem
vorhergehenden Abschnitt einigen Tests.
a)
Die Abstände der Punkte P(1/1/1) und
P ' : x ' = 1/6*wurzel(3) + 19 / 18, y' = - 1/6*wurzel(3) , z' = 7/9
vom Nullpunkt mässen gleich sein:
Bestätigung:
1^2 +1^2 +1^2 = x' ^ 2 + y ' ^ 2 + z ' ^ 2 ist erfüllt.
b) Der Punkt P ' liegt auf der zur Drehachse senkrechten
Ebene durch P; die Gleichung dieser Ebene lautet:
2 x + 2 y + z = 5 .
Somit muss gelten:
2 x' + 2 y' + z' = 5 ; Testergebnis positiv !
c) Der Punkt P ' liegt auf der Rotationskegelfläche mit der
Drehachse als Achse, welcher von der Geraden OP bei der
Drehung überstrichen wird..
Die Herleitung der Gleichung dieser Fläche ist ein Thema
für sich; sie lautet :
13 x^2 + 13 y^2 + 22 z^2 - 24 xy - 12 yz - 12 xz = 0
Die Koordinaten von P ' erfüllen diese Gleichung, wie man
sich überzeugen kann.
Alles o.k. !
6. Schritt: Ergänzungen
Aufstellung der Transformationsmatrix A beim Uebergang
von den alten Koordinaten x , y, z zu den neuen X , Y , Z
Dieser Matrix lautet:
Erste Zeile: r1 s1 t1
Zweite Zeile r2 s2 t2
Dritte Zeile r3 s3 t3
Wobei gilt:
r1 = 1/wurzel(2) , s1 = - 1 / wurzel(2) , .... t1 = 0
r2 = 1/(3*wurzel(2), s2 = 1 / (3*wurzel(2), ........t2 = - 4/ (3* wurzel(2)
r3 = 2 / 3 ....................s3 = 2/3...............................t3 = 1 / 3
Die Zeilenvektoren sind die neuen Basisvektoren:
u = {r1;s1;t1},v={r2;s2;t2} , w={r3;s3;t3}
Die Matrix ist orthogonal, d.h. (nach Zeilen)
r1^2 + s1^2 + t1^2 = 1
r2^2 + s2^2 + t2^2 = 1
r3^2 + s3^2 + t3^2 = 1
r1*r2 + s1* s2 + t1*t2 = 0
r2*r3 + s2 *s3 + t2*t3 = 0
r3*r1 + s3* s1+ t3*t1 = 0
N.B. Eine Matrix, welche nach Zeilen orthogonal ist ,
ist eo ipso nach Kolonnen orthogonal.
Die Determinante der Matrix hat den Wert 1.
Die inverse Matrix A^ (-1) stimmt mit der Transponierten A*
überein, wobei A* aus A durch Vertauschung von Zeilen und
Kolonnen in ihren Rollen hervorgeht.
Sind i , j , k die Basiseinheitsvektoren im (x,y,z)-System,
so gehen die Transformationen mittels der Matrix A für
X,Y,Z einerseits und u , v , w andrerseits kogredient und zwar
zeilenmässig (horizontal) ;
x, y, z geht mit i, j , k kogredient und zwar kolonnenmässig(vertikal).
Alles kann jetzt bequem aus der Matrix abgelesen werden
Beispiele
Y = r2 x + s2 y + t2 z
z = t1 X + t2 Y + t3 Z
v = r2 i + s2 j + t2 k
k = t1 u + t2 v + t3 w
usw.
Das sollte ausreichen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Bettina Löbinger (Bettina2k1)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 19:22: |
|
Hallo H.R. Moser, megamath!!
Ich weiß gar nicht womit ich mir das verdient habe. Du hast das alles wirklich toll erklärt!!
Bravo! Du hast mir dadurch sehr geholfen und zudem noch ein gewisses Gesamtverständnis vermittelt  )
Also vielen Dank!!
Mit freundllichen Grüßen
Bettina
PS: Machst du Mathematik beruflich?? |
|
