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Roland
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 15:23: | 
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Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich die wunderschönen Integrale
1. e^(ax) * cos (bx)
2. e^(ax) * sin (bx) [so ähnlich wie 1, oder?]
3. e^(x^2)
lösen kann (nur unter Verwendung von Grundintegralen ohne Formelsammlung)
Danke |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 16:29: |
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Hi Roland,
zu 3. Dieses Integral wurde hier im Board schon öfters besprochen. Es hat keine elementare Stammfunktion, man muß einfach eine neue Funktion (die Fehlerfunktion) definieren, dann kann man damit dieses Integral berechnen. Wenn Dir das komisch erscheint, stell Dir mal für einen kurzen Augenblick vor, daß Du die Funktion log x nicht kennst. Dann kann 1/x nicht elementar integriert werden, wenn wir den Logarithmus hinzunehmen geht es wieder. Fazit: Die elementaren Funktionen sind bezüglich Integration nicht abgeschlosen, und es können dadurch neue Funktionen beschafft werden (die sogenannten höheren transzendenten Funktionen). Aber der Beweis dafür, daß obiges Integral keine elementare Stammfunktion besitzt ist hochgradig nichttrivial. Lioville hat als erster diese Fragen untersucht. Heute gehören sie zum Gebiet der Differential-Galois-Theorie, welches aber nur schwach ausgebaut ist. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 17:07: |
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zu 1. Wir machen 2mal hintereinander partielle Integration und kommen (bis auf einen Vorfaktor auf das Ausgangsintegral zurück, umstellen und fertig. Partielle Integration solltest Du aber verstanden haben. Integriere vorher x sin x.
ò eax cos bx dx = 1/b eax sin bx - a/b ò eax sin bx dx
[wobei wir den ersten Faktor inegriert, und den zweiten diff. haben]
= 1/b eax sin bx + a/b² eax cos bx - a²/b² ò eax cos bx dx
Also ò eax cos bx dx = eax/(a²+b²) (a cos bx + b sin bx) |
Roland
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 18:52: |
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Dank Dir,
auf die Idee gekommen bin ich nicht das man was damit anfangen könne wenn links und rechts wieder das gleiche Integral auftaucht. Ich habe dann immer versucht einen anderen Weg zu finden, aber bei cos, sin e^x ist das ja immer ziemlilch ähnlich nach Integration und Differentiaton. Man lernt halt immer was dazu.
Nochmals besten Dank!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 20:16: |
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Hi Roland, Hi Stefan,
Darf ich mich an Eurer Integralparty ein wenig beteiligen ,
um die Integrale J1 und J2 auf eine andere Art zu berechnen ?
Mein Beitrag trägt das Motto "Zwei auf einen Streich".
Die beiden ersten Integrale gehören zusammen wie
Siamesische Zwillinge , also berechnen wir sie in globo.
Wir benützen komplexe Zahlen ,indem wir das Integral
J = J1 + i * J2 bilden:
Es kommt der Reihe nach:
J = J1 + i * J2 = int [e ^ (ax) * {cos(bx) + i *sin(bx) }* dx
= int [e^( a x ) * e ^ (i * b x ) * dx] = int [e ^ { (a + i b )*x} * dx ]
= 1 / ( a + i * b ) * e ^ {( a + i * b) x }
= 1 / ( a ^ 2 + b ^ 2 ) * ( a - i * b ) * e ^ ( a x )* e ^ ( i * bx )
= 1 / ( a ^ 2 + b ^ 2) * (a - i * b ) * e^(ax) * {cos(bx) + i* sin(bx)}
Jetzt trennen wir Realteil und Imaginärteil und erhalten
J1 als Realteil von J und J2 als Imaginärteil von J, nämlich:
J1 = e ^ (ax) / ( a^2 + b^2 ) * [ a* cos(bx) + b* sin(bx) ] ,
J2 = e ^ (ax) / ( a^2 + b^2 ) * [ a * sin (bx) - b cos (bx) ] .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 00:37: |
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Hi megamath,
super! Sehr elegant Deine Art die beiden Integrale zu berechnen. Meistens kommt man besser, wenn man sin, cos als e-Funktionen schreibt, z.B. bei den Additionstheoremen. Der Vorteil liegt in der einfacheren Funktionalgleichung der e-Funktion. Insgesammt haben wir mittels 2 unterschiedlicher Methoden diese Integrale berechnet, und das üben der verschiedenen Integrationsmethoden ist dabei das wichtigste. Schon Gauß sagte: Nicht das Dasein, sondern das Hinkommen gewährt den höchsten Genuß. |
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