| Autor |
Beitrag |
    
Juliane Götz (Mikrobi)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 13:22: | 
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Wir betrachten 2 Kurven y=f(x) und y=g(x),Die sich in einem Punkt Po=(xo,yo) berühren. Wir verstehen unter der Ordnung n der Berührung zweier Kurven in Po die Übereinstimmung der Funktionswerte und der Ableitung bis zur n-ten Ordnung, d.h. die TAYLOR-Entwicklungen beider Funktionen in xo
y=f(x)=f(xo)+f`(xo)(x-xo)+...+1/n!f hoch n (xo)(x-xo)hoch n + R1n(xo)
y=g(x)=g(xo)+g`(xo)(x-xo)+...+1/n!f hoch n (xo)(x-xo)hoch n + R2n(xo)stimmen bis auf die Restglieder überein. Es sei nun y=g(x)nur in der impliziten Form G(x,y)=0 ( 1 )gegeben, d.h. in einer Umgebung von Po definiere (1)eine eindeutig betimmte Funktion y=g(x). In Po beühre y=f(x) die Kurve ( 1 ). Die Ordnung der Berührung sei jetzt n=2. Die ersten beiden Bedingungen für die Berührung der Kurven lauten dann
G(xo,f(xo)) = 0 (2.1)
Gx(xo,f(xo))+ Gy(xo,f(xo))f´(xo)= 0 (2.2)
a) Begründen sie (2.1) und (2.2)!
b) Zeigen Sie, daß die dritte Bedingung wie folgt lautet Gxx + 2Gxyf´(xo) + Gyy f´hoch2(xo) +Gyf´´(xo)= 0 (2.3)
Die Bedingungen lassen sich übersichtlicher angeben, wenn wir v(x) =G(x,f(x)) für x=xo setzen.
c) Wie lauten jetzt die Bedingungen (2.1) und (2.3)
Wir betrachten nun eine Kurve y=f(x) und eine Schar von Kurven der Gestalt G(x,y,c1,c²,...,cn+1)=0 (3)
und suchen aus (3) diejenige Kurve heraus, die y=f(x) in Po von möglichst hoher Ordnung berührt. Solche Kurven heißen Schmiegungskurven in Po. Um bequem rechnen zu können, setzen wir (3) üfr y=f(x)gleich v(x,c1,...,cn+1)=G(x,f(x),c1,...,cn+1) (4)
Um die (n+1)Parameter eindeutig bestimmen zu können ist es sinnvoll zu erwarten, daß dazu die n+1 Bedingungen
v(xo,c1,...,cn+1)=0, dv/dx=0,...,
dhochn v/dxhoch n=0 für x=xo (5)
gefordert werden können.
d)Geben sie für n=2 die Berührungsbedingungen (5) an.
e)Die Schar (3) sei jetzt speziell die Kreisschar
(x-x1)hoch2 + (y-y1)hoch2 = R hoch2 mit den Parametern x1,y1,R. Bestimmen Sie für eine Funktion y=f(x)die bestberührende Kurve dieser Schar, diese heißt Schmiegkreis. von welcher Ordnung ist hier die Berührung? Wie lauten die Koordinaten x1,y1 des Mittelpunktes und der Radius R des Schmiegkreises in Abhängigkeit von den Koordinaten von Po? Der reziproke Wert vom Radius R des Schmiegkreises aus (e) ist die Krümung K der Kurve y=f(x) in Po. Deshalb heißte dieser Kreis auch Krümungskreis. Eine praktische Anwendung der Krümung finden wir beim Gleisbau, wo songenannte Übergangsbögen von einem Geradenstück zu einer kreisförmigen Kurve eingebaut werden. Bei der Bewegung eines materiellen Punktes längs einer Kurve tritt die Zentrifugalkraft F=mvhoch2/R auf. Um das plötzliche Auftretten von diesen Kräften beim Übergang von Gerade zu Kreis abzumindern, verbindet man diese Gleisteile mit Übergangskurven, um so Gleisschäden zu verhindern, Bei den Übergangskurven ändert sich der Radius R allmählich.
f)Als eine geeignete Übergangskurve bietet sich
f(x)={0 von -unendlich < x < 0 und a/6*xhoch3 von 0<x<+unendlich}
an, um von einem Geradenstück, das parallel zur x-Achse liegt zu einem Kreisbogen zu gelangen. Betimmen Sie die Stelle, wo die Krümmung K maximal wird. Wie groß muß der Radius des Kreisbogens mindestens sein, wenn ein übergang von einer Geraden zu einem Kreisbogen stoßfrei erfolgen soll? |
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