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Beitrag |
    
richie
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 07:57: | 
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Kann mir jemand sagen, wie ich die reellen Nullstellen dieser Funktion berechne? |
Hans
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 09:32: |
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Hallo :
Anhand einer Skizze (man bringt z.B. die Exponentialkurve y = e^x mit der Parabel y = x^2+x
zum Schnitt) macht man sich zunaechst klar, dass
f(x) = e^x - x^2 - x genau eine reelle Nullstelle x* hat, welche im Intervall [-2,-1] liegt. Die kann man dann mit einem numerischen Verfahren (z.B.Newton-Raphson) beliebig genau bestimmen.
Man findet x* = - 1.235346233.
Da es sich um eine transzendente Gleichung handelt, ist eine formal-algebraische Loesung
nicht moeglich.
Hans |
Kilian (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 09:40: |
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Hallo Richie!
Leider versagt das analytische Auflösungsvermögen heutiger Analysis daran (aber schließlich versagt es schon bei x = cosx , oder ? ).
Eine gute variante wäre aus der numerischen Mathematik wäre zum Beispiel das Newtonverfahren. Du setzt einfach als Näherungswert für die Lösung -1 ein (Aus der Zeichnung).
Das Newtonverfahren funktioniert wie folgt:
x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))
Dies ist ganz einfach: Man setze einen Näherungswert für die Lösung der Gleichung ein und man erhalte einen besseren Näherungswert. Diesen setzt man erneut in die Gleichung ein usw..
Setzt du für x0 = -1 ein, so kommst du für x1 schon auf -1.26894 und nach der dritten Iteration auf -1.23588, dass der wirklichen Lösung von
-1.2353462334647 zumindest schon auf 3 Stellen hinter dem Komma gleicht. Wenn du diese Rekursionsformel z.b. 10 Schritte anwendest, dürftest du schon eine gute Näherung haben.
Ciau |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 13:06: |
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Hallo,
der Auflösbarkeitsbegriff bei transzendenten Gleichungen (TG) im algebraischen Sinn ist eine ganz harte Nuß, soweit mir bekannt gibt es hier sogar noch Definitionsbedarf.
Der Begriff der formal-algebraische Lösung ist etwas problematisch, da ja die Lösungen von TG transzendent sein können (z.B. Pi bei
x + cos x = Pi-1). Man darf nicht an algebraische Zahl denken. Bisher wird immer noch der schwammige Begiff der Lösung in geschlossener Form verwendet. Es gibt durchaus TG, die eine solche Lösung haben (obiges Beispiel). Also der Schluß TG Þ keine Lösung in geschlossener Form geht nicht. Eine Theorie dazu gibt es noch nicht, wie z.B. die Galois-Theorie bei der algebraischen Auflösung von algebraischen Gleichungen. (Z.B. ist x^5+x+1=0 nicht alg. auflösbar, obwohl alle 5 Lösungen algebraische Zahlen sind.)
Etwas Vergleichbares gibt es bei Funktionen. Man führt den Begriff der elementaren Funktion ein. Eine sehr komplizierte Theorie gestattet es dann in einigen Fällen zu entscheiden, ob eine elementare Funktion eine elementare Stammfunktion besitzt. Z.B. e^x² nicht.
Vielleicht ist der Begriff der elementaren Zahl, statt geschlossener Form sinnvoll.
Kilian, die bemerkenswerte Lösung von cos x = x ist vermutlich nicht elementar, aber ein Beweis ist mir nicht bekannt.
Das ganze ist wirklich nicht einfach, da ja die Gleichung von Richie eine äußerst kompliziert gebaute geschlossene Lösung haben könnte. Es war aber sicher nur eine numerische Lösung gefragt. |
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