| Autor |
Beitrag |
    
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 21:59: | 
|
Hallo,
kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Folgern Sie: Für alle z c C gelten:
(1) exp(z+iko/2) = exp(z)ik für k c N, insbesondere exp(z+2oi) =exp(z).
(2) cos(z+o/2) = -sin(z), cos(z+o) = -cos(z), cos(z+2o) = cos(z).
(3) Was gilt entsprechend für sin?
(4) cos(z) = 0 w z=ok+o/2 für ein k c Z, was gilt für sin und exp?
Wäre echt nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte. |
Hans
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 10:10: |
|
Hallo : Hier ein paar Hinweise, mit denen sich
alles leicht nachrechnen laesst :
Man muss folgende Eigenschaften der komplexen
Exponentialfunktion exp benutzen :
[1] exp(z+w) = exp(z) * exp(w)
[2] exp(k*z) = [exp(z)]^k
[3} exp(iz) = cos(z) + i sin(z)
[5] cos(z) = [exp(z)+exp(-z)]/2
sin(z) = [exp(z)-exp(-z)]/(2i)
[6] exp(2k*Pi) = 1 für k in Z, exp(i*Pi/2) = i
Somit z.B.
(1) exp(z+i*k*Pi/2) = exp(z)*exp(i*k*Pi/2)
= exp(z)*[exp(i*Pi/2)]^k
= exp(z)*i^k
(2) Wende [5] an.
Der Rest geht ebenso.
Hans |
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 08:53: |
|
Hallo Hans,
erstmal danke für deine Hilfe. Ich habe aber noch eine Frage.
Und zwar bei (4). Wie ist es da gemeint, soll da auch sin(z) = 0 und exp(z) = 0 sein, oder ist da gemeint, was jeweils bei z = ok+o/2 passiert? |
Hans
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 09:21: |
|
Ich wuerde es so interpretieren :
Bestimme alle Loesungen der Gleichung
sin(z) = 0 bzw. exp(z) = 0.
Z.B. ist exp(z) = exp(x+yi) = exp(x)*exp(yi)
mit rellen x,y. Wegen
exp(x) > 0 fuer alle x in R und
|exp(yi)|^2 = cos^2(y) + sin^2(y) = 1
ist somit exp(z) immer ungleich 0.
Hans |
|
