Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 18:43:

 
 
Zuerst bestimmen wir eine Basis für U und eine Basis für V: 
 
 
                          [ 2     5     -5     7] 
                          [                     ] 
                          [-1    -2      3    -3] 
                     U := [                     ] 
                          [ 3     5     -8     8] 
                          [                     ] 
                          [ 5     8    -13    13] 
 
Diese Matrix reduziert ergibt: 
 
                          [1    0    0    1] 
                          [                ] 
                          [0    1    0    1] 
                          [                ] 
                          [0    0    1    0] 
                          [                ] 
                          [0    0    0    0] 
 
Die Vektoren u1,u2,u3 bilden also eine Basis von U 
dim(U)=3 
Jetzt bestimmen wir genauso eine Basis für den Unterraum V: 
 
 
                             [ 4    -7     3] 
                             [              ] 
                             [ 1     2     0] 
                        V := [              ] 
                             [-2    -6     0] 
                             [              ] 
                             [-4    -9    -1] 
 
Reduziert: 
 
                            [1    0    0] 
                            [           ] 
                            [0    1    0] 
                            [           ] 
                            [0    0    1] 
                            [           ] 
                            [0    0    0] 
 
Die Vektoren v1,v2,v3 sind also unabhängig und spannen den Raum V auf. Sie bilden eine Basis von V. 
dim(V)=3 
Nun betrachten wir den Vektorraum U+V: 
Dazu bilden wir die Matrix mit den Basisvektoren als Spalten: 
  
 
                    [ 2     5     -5     4    -7     3] 
                    [                                 ] 
                    [-1    -2      3     1     2     0] 
              UV := [                                 ] 
                    [ 3     5     -8    -2    -6     0] 
                    [                                 ] 
                    [ 5     8    -13    -4    -9    -1] 
 
Reduziert: 
 
                    [1    0    0    0     1    -3] 
                    [                            ] 
                    [0    1    0    0     1    -1] 
                    [                            ] 
                    [0    0    1    0     2    -2] 
                    [                            ] 
                    [0    0    0    1    -1     1] 
 
Die reduzierte Matrix hat 4 Pivots, daher ist 
dim(U+V)=4 
Es gilt die Beziehung: (Es bedeutet UsV: U geschnitten V) 
dim(UsV)= dim(U)+dim(V) - dim(U+V)  = 3 + 3 - 4 = 2 
Der gesuchte Unterraum (UsV) hat also die Dimension = 2. 
Jetzt zur Basis von (UsV): 
Jeder Vektor in U hat die Form: a*u1+b*u2+c*u3 
Jeder Vektor in V hat die Form: d*v1+e*v2+f*v3 
Wir müssen a,b,c,d,e,f (aus R) so bestimmen, dass 
a*u1+b*u2+c*u3 = d*v1+e*v2+f*v3   ist.                 [1] 
oder:  a*u1 + b*u2 + c*u3 - d*v1 - e*v2 - f*v3 = 0 
Dies sind in Komponentenform geschrieben 4 lineare, homogene Gleichungen deren Koeffizientenmatrix ist: 
  
 
                     [ 2     5     -5    -4     7    -3] 
                     [                                 ] 
                     [-1    -2      3    -1    -2     0] 
              UsV := [                                 ] 
                     [ 3     5     -8     2     6     0] 
                     [                                 ] 
                     [ 5     8    -13     4     9     1] 
 
 
                    [1    0    0    0    -1    3] 
                    [                           ] 
                    [0    1    0    0    -1    1] 
                    [                           ] 
                    [0    0    1    0    -2    2] 
                    [                           ] 
                    [0    0    0    1    -1    1] 
 
Wie erwartet: 2 freie Variable: e und f 
Wir lesen ab: 
a=e-3f 
b=e-f 
c=2e-2f 
d=e-f 
e=e 
f=f 
Dies in die linke (oder rechte) Seite von [1] eingesetzt ergibt: 
 
Jeder Vektor w aus dem Vektorraum (UsV) kann geschrieben werden: 
 w:=e*(u1+u2+2*u3)+f*(-3*u1-u2-2*u3); 
 
              w := e [-3, 3, -8, -13] + f [-1, -1, 2, 3] 
 
oder: 
 W:=e*(v1+v2)+f*(-v1+v3); 
 
              W := e [-3, 3, -8, -13] + f [-1, -1, 2, 3] 
 
Wobei e und f Parameter sind. 
Die gesuchte Basis von (UsV) ist also: ([-3,3,-8,-13] , [-1,-1,2,3])  (Klammern () müssten geschwungene sein!) 
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