| Autor |
Beitrag |
    
Multi
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 22:03: | 
|
Hallo!
Wie beweise ich, dass (2/pi)*x < sin x < x für
0 < x < pi/2 ist ?
Danke,
Multi |
Hans
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 14:05: |
|
hallo :
Linke Seite : Die Funktion sin ist in [0,Pi] streng
konkav, d.h.: fuer u , v in [0,Pi] und alle t in (0,1) gilt
sin{(1-t)u + tv} > (1-t) sin(u) + t sin(v).
wende dies auf u=0 , v = Pi/2 und setze tPi/2 = x.
Anschaulich-geometrisch : der Graph von y=sin(x)
verlaeuft in (0,Pi/2) oberhalb der Sekante durch
(0,0) und (Pi/2,1).
Rechte Seite : Betrachte die Funktion
f(x) := x - sin(x) , 0 < x < Pi/2 :
f(0) = 0 , f'(x) = 1 - cos(x) > 0 ==> f ist
streng monoton wachsend.
Hans |
Multi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 20:57: |
|
Hallo nochmal,
kann man diese Ungleichung denn auch mit vollständiger Induktion beweisen ?
Danke,
Multi |
Hans
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 08:49: |
|
Hoppla , da liegst du aber voellig daneben !
VollstS<caron>ndige Induktion wendet man an zum Beweis der Allgemeingueltigkeit von Aussagen, welche sich
auf n a t u e r l i c h e Z a h l e n beziehen,
z.B.: Fuer alle n in |N ist
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = [n(n+1}/2]^2.
In obigen Ungleichungen ist aber x eine
r e e l l e Variable.
Hans |
|
