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Tanja Berger (Tanja76)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 15:53: | 
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Hallo!
Wir machen momentan Vektorrechnung, was an sich auch kein Problem wäre,
wenn man nicht ab und zu allgemeine Sätze beweisen müßte...
Ich hab wirklich arge Probleme mich in daß ganze dann einzudenken.
Also, wenn ihr mir helfen könntet die Klippe zu umschiffen,
wäre das super!!
Folgende Aufgabe ist zu lösen:
Für welche Vektoren a, b, c (element von) R³ gilt:
(a x c) x b = a x (c x b) ? [z.B..: a x c = Kreuzprodukt zwischen a u.c]
Hilfestellung: Unterscheide, ob a , b linear abhängig, oder unabhängig sind!
Evtl. fließt ja in den Beweis das Assoziativitätsgesetz der
Multiplikation ein?!
Ich hoffe ihr seit jetzt schlauer als ich. Bitte helft mir!
Tschüß,
Tanja |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 08:04: |
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Hi Tanja,
Deine Aufgabe zum doppelten Kreuzprodukt lässt sich
einfach lösen, wenn Du von zwei Umformungen (H)
Gebrauch machst, die ich in einer früheren Arbeit
hergeleitet habe.
Du findest diesen Beitrag im Archiv unter dem Stichwort
"Bureau".
Selbstverständlich kannst Du diese etwas langwierige
Beweisführung auch ignorieren.
Vorbemerkung zu den Bezeichnungen.
a, b, c sollen Vektoren darstellen, a x b das Vektorprodukt,
a b das Skalarprodukt der Vektoren a, b.
(a b) c : der Vektor c wird mit dem Skalar a c multipliziert
Die erwähnten Beziehungen (H) lauten:
(a x c)x b = (a b) c - (b c) a.............................................(H1)
a x (c x b) = (a b) c - (a c) b..............................................(H2)
Mit diesen Relationen lässt sich Deine Aufgabe so formulieren:
Für welche Vektoren a , b , c gilt
(a b) c - (b c) a = (a b) c - (a c) b.........................................(T)
Die Beziehung (T) wie Tanja reduziert sich somit auf die
einfachere Relation:
(b c) a = (a c) b...................................................................(T*)
Man sieht sofort, dass diese Relation (T*) nur erfüllt
werden kann, wenn a und b linear abhängig sind ,wenn
also z.B. b = t * a gilt.:
Setzt man dies ein, so wird die Gleichung (T*) identisch
erfüllt.
Zur Illustration geben wir ein numerisches Beispiel:
a = {1;1;0} , b ={-1;-1;0}, c = {1;2;3}
Dann ist (a x c) x b = a x (c x b) = {1;-1;-6}
Die linke Seite L lässt sich auch so darstellen:
L = (a b) c - (b c) a = - 2c - (-3) a = - 2c + 3a ={1;-1;-6}
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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